Предлагаю взглянуть на дроби: тему, пройденную и забытую (многими) где-то между начальной школой и первым поцелуем.
За пределами территории натуральных чисел, которые выражают количества (и начинаются с единицы, хотя количество "нету" вполне законно; так что я, признавая общепринятость отсчета N с единицы, считаю правильным отсчёт с нуля — но это моё мнение), всё реально с долей условности. Математически мы расширяем область определения математических операций, превращая множество в группу: от натуральных, которые по сложению не группа, переходим к целым, которые группа. Ну и натуральные (без нуля, ведь мы считаем с единицы), которые не группа по умножению, расширяются до (положительных) рациональных, которые группа. Можно увеличить группу до ненулевых рациональных любого знака, а потом сделать ещё один шаг, легализовав возведение в степень. Это приведёт нас к (ненулевым) комплексным числам. Далее пути нет, что само по себе неожиданно. Есть кватернионы и еще что-то восьмимерное, но там уже теряются некоторые важные свойства. Числа кончаются на комплексных, и там можно "всё": все корни, степени, логарифмы, арксинусы вычисляются повсюду, кроме, быть может, отдельных "особых точек".
Группой называется множество чего угодно с бинарной операцией, которую именуют сложением или умножением (просто по аналогии). Операция эта должна удовлетворять ряду "школьных" свойств (причем коммутативность, она же независимость от порядка слагаемых/множителей, необязательна). А вот что обязательно, так это наличие нуля (единицы), то есть такого элемента, который, будучи прибавлен к (умножен на) любой другой не меняет его, и наличие обратного для любого элемента: возможность умножить элемент на что-то так, чтобы получить единицу (прибавить что-то так, чтобы получить нуль).
Натуральные числа группу по сложению не образуют, потому что нет нуля. Неотрицательные целые группу не образуют, потому что нет обратных. Целые же — группа: нуль есть, обратные тоже, все свойства выполняются.
Аналогично с умножением. Натуральные числа содержат единицу, но обратных нет. Можно добавить числа вида 1/n и получится группа, но тогда со сложением проблемы. А ненулевые рациональные числа уже группа и по сложению, и по умножению.
В бытовой аранжировке комплексные числа интерпретации не находят, а вот отрицательные и дробные — находят. Обычно мы объясняем дроби (доли) через разрезание яблочка, деление апельсина на дольки, разрезание тортика и прочие вкусняшки.
Проблема в том, что часто, а то и всегда, проблема деления упирается в фундаментальный предел. Хорошо описывать концентрацию углерода в составе бактерий в морской воде, пока их (бактерий) много; но когда речь пошла о считанных единицах, дает о себе знать дискретность. Хорошо моделировать сражение, считая потери в процентах, пока задача не уперлась в отдельных воителей. Хорошо решать уравнение диффузии слухов в обществе, пока речь не идет о выслеживании конкретного болтуна.
В итоге математика имеет эдакую развилку. Одни задачи естественно решать на территории вещественных чисел, работая с дробями и игнорируя проблему дискретности. Другие задачи принципиально целочисленны, и ничего не поделаешь. Дробные результаты не более, чем вспомогательны. Тут уместно вспомнить задачу Фибоначчи, в которой формула для целочисленных членов последовательности содержит корни.
Но это пока не так важно. Рациональное число записывается дробью вида m/n, где оба числа натуральные (отрицательными пока не занимаемся) и не имеют общих простых множителей. Поделив одно число на другое в данной системе счисления, можно получить десятичную (или еще какую) дробь (с точкой/запятой). Со школы все знают, что дробь таковая обязательно периодическая (или конечная как разновидность периодической).
А почему?
Есть такой "принцип Дирихле": если N+1 кролик сидит по N клеткам, то хотя бы в одной клетке сидит хотя бы два кролика. Принцип очень простой, но на диво плодотворный.
Ну и вот, мы делим число m на число n с остатком: получаем целую часть и остаток от 0 до n-1. Умножаем его на основание системы счисления d, например на 10. Делим снова на n с остатком: получаем однозначное число (от 0 до d-1), это очередная цифра, и остаток. И так далее.
Либо на каком-то этапе получим остаток нуль и дробь конечная, либо остатки начнут повторяться по принципу Дирихле. И дробь станет периодической. Формально можно считать, что конечная дробь тоже периодическая с периодом 0...
...или 9. Этот нюанс многих непрофессионалов удивляет, но 0.999(9) это то же самое что 1.0000(0)=1. Система записи чисел не гарантирует однозначность записи.
Доказательство теоремы обычно дает больше, чем просто уверенность в ее истинности. Например, мы теперь видим, что длина периода в любом случае не превосходит n: разнообразия остатков. Так что дробь 1/2 в любой системе отсчета либо конечная (0.5 в десятичной), либо имеет период из одной цифры (0.1111(1) в троичной).
Перед периодом может идти что-то еще. Это называется "предпериод". Он может быть какой угодно, но понятно, что при данном знаменателе n его длина не превосходит n: иначе остатки начнут повторяться. Есть теория, что там может быть, а чего не может, но я ее не знаю.
Из периодичности десятичных рациональных дробей следует возможность записать иррациональное число; например, записывая подряд все больше нулей через каждые несколько знаков:
0.10100100010000100000...
Никакого периода быть не может, и число не рационально.
Иррациональны все корни, если они не целые. Например, корень из 2, из любого простого числа, и так далее. Доказывается просто.
Рассмотрим корень из простого p. Если это несократимая дробь m/n, то
m²/n²=p, откуда m²=pn², то есть m² делится на р. Но тогда на него делится и m, то есть m=pk, и p²k²=pn², откуда следует n²=pk². Это означает, что n² делится на р, а значит, и само n тоже.
Мы получили, что и m, и n делятся на простое p, то есть дробь сократима.
Далее можно пойти двумя путями. Можно сослаться на reductio ad absurdum, то есть доказательство от противного: мы предположили, что корень рационален и что дробь несократима (всегда можно выполнить все возможные сокращения), а получили сократимую дробь, то есть получили противоречие. Значит, предположение неверно. Раз сократить всегда можно, значит нечего сокращать: корень не рационален и дробью не представляется.
Либо можно получить способ сколь угодно много раз сокращать дробь, ведь к новой применимо то же рассуждение, что означает, что m и n бесконечно велики, что опять-таки выводит ситуацию из области натуральных чисел.
Рассуждение применимо к любым корням: кубическим и прочим.
Доказательства иррациональности пи и е есть в Википедии.
То, что рациональных чисел столько же, сколько натуральных (можно пересчитать, счётно), мы все знаем. Это странно, поскольку они "плотны": между любыми двумя найдется третье, то есть их бесконечно много на каждом отрезке. Но тем не менее. А вот иррациональных принципиально больше (любая попытка пересчитать всевозможные десятичные дроби, даже с нулевой целой частью, пропустит по меньшей мере одну дробь). Это тоже странно.
Ещё страннее то, что множество всех текстов на всевозможных языках счётно: текст есть массив символов, символы в UTF8 суть коды от одного до четырех байт, байт — восьмерка бит. То есть текст — это просто битовый массив, который можно трактовать как натуральное число.
Например, текст "Я!" в байтах выглядит как d0 af 21 (это шестнадцатеричная кодировка), то есть в двоичном коде это
110100001010111100100001
Большое число, но число: 1367632.
В итоге, вы можете описать хоть как-то лишь малую часть всех чисел. Иррациональные, ну еще какие-то, пи, е, корень из двух, вроде много всяких... но это лишь малая часть.
Расширение понятия рациональных чисел — алгебраические числа. Это корни многочленов с целыми (рациональными, что то же самое) коэффициентами. Рациональные все алгебраические, так как являются корнями многочленов первой степени: nx-m=0. Сюда же попадают корни и многое другое, но опять-таки далеко не всё, и пи и е — не попадают.
Последнее замечание. Как записать двухэтажную дробь в виде десятичной или какой-то ещё дроби "с запятой", мы обсудили. А как наоборот? Вот дана дробь: 0.424242(42) — это рациональное число, так как дробь периодическая, но какая она в "двухэтажной" форме?
На помощь приходит сумма прогрессии. Легко заметить, что дробь наша есть сумма геометрической прогрессии с первым членом 0.42 и знаменателем 0.01 (степень десятки зависит от длины периода). По формуле суммы получаем
0.42/(1-0.01) = 0.42/0.99 = 42/99.
Осталось сократить (если можно) и получить 14/33.
Отсюда можно вывести пару частных правил. Если у вас дробь вида 0.PPPP..., где Р - период из n цифр, то 0.Р/(1-10⁻ⁿ), или Р/99...9, где девяток как раз n штук. Если перед периодом идет m нулей, то эти нули надо приписать внизу к девяткам. Если же есть ненулевой предпериод, то его, конечную дробь, надо прибавить к дроби, в которой предпериод просто заменен на нули. Наконец, целая часть просто прибавляется.
Например,
1.2342(42) = 1 + 0.23 + 0.00(42) = 1 + 32/100 + 42/9900 =
= (9900 + 32∙99 + 42)/9900 = 13110/9900 = 1311/990
Удачи, друзья!