Каждый уважающий себя блоггер-математик просто не может не написать несколько постов на классические темы: "почему нельзя делить на ноль", "почему минус на минус равно плюс", и что-нибудь "про бесконечность". Дальше по желанию, "про золотое сечение", "про сумму 1 + 2 + 3 + ... = −1/12", конечно же, "про фракталы" ну и так далее. Будем считать это этюдами, необходимыми для становления художника, или непременным репертуаром классического театра.
Сегодня представляю вашему вниманию свои вариации на классическую тему "Почему минус на минус равно плюс".
Что не так с аналогиями?
Чаще всего, отрицательные числа и операции с ними объясняют, апеллируя к интуиции, приводя всевозможные житейские примеры: через шаги по дорожке, через скорости, через "враг моего врага" или, не дай бог, через деньги, взятые в долг. Все эти аналогии, более или менее неплохо справляются с пояснением сложения и отрицанием отрицания, но вовсе не годятся для объяснения того, что происходит при перемножении отрицательных (противоположных) величин. Попробуйте занятые у Коли 500 рублей, умножить на 1200 рублей, которые вы должны Васе. И что вы потом будете делать с рублями в квадрате? То же относится и к шагам и к скоростям и к температурам...
От аналогий к абстракциям
Вместо того, чтобы искать ещё одну "самую лучшую" аналогию, демонстрирующую свойства отрицательных чисел, стоит сосредоточиться именно на числах и разобраться в том, какие именно свойства чисел приводят к тому, что минус на минус... постойте, а вот это вот "на" — это что такое: умножить на ...?, подействовать на ...? Мы рассмотрим оба варианта.
Конкретные числа нам не потребуются, не важно даже какими они будут: целыми, рациональными, вещественными, модулярными, комплексными, гиперкомплексными... Чтобы называться "числом" от них потребуются только следующие свойства, выполняющиеся для всех чисел 𝑎, 𝑏 и 𝑐:
Как видно, этих свойств немало, но это, действительно, "всё что нужно знать о числах", как говорят в Интернете. Обратите внимание на то, что мы не добавили мультипликативных свойств нуля и единицы, а также коммутативности сложения и умножения. Во-первых, бывают алгебраические системы, в которых части этих законов нет, а во-вторых, они нам сегодня и не потребуются.
И ещё одно замечание, я использую знак штрих вместо знака минус, во-первых, для экономии места, а во-вторых, чтобы мы совсем не думали ни про какое "вычитание", которое мы использовать не будем.
Ну, что же, давайте выясним, что можно вывести из этих свойств.
Нейтральный элемент единственный
Пусть существует отличный от нуля элемент 𝑥, такой что 𝑥 + 𝑎 = 𝑎, тогда
Сложения для противоположного элемента коммутативно
Здесь мы использовали уже доказанную единственность нейтрального элемента.
Противоположный элемент единственный
Предположим, найдутся два различных противоположных элемента 𝑥 и 𝑦 таких, что 𝑎 + 𝑥 = 0 и 𝑎 + 𝑦 = 0, тогда
Элемент противоположный противоположному
А теперь мы готовы увидеть, как действует повторное применение штриха. Подставим в уравнение A3 в качестве элемента 𝑎′: 𝑎′ + (𝑎′)′ = 0. Это значит, что элемент (𝑎′)′ противоположен элементу 𝑎′, а поскольку противоположный элемент единственный, то (𝑎′)′ = 𝑎.
Последнее доказанное нами свойство делает штрих инволюцией, то есть операцией, отменяющей саму себя. Вот и первый вариант толкования фразы: "минус на минус равно плюс". По другому и быть не может, если одновременно выполняются свойства A1, A2 и A3. Алгебраические системы, удовлетворяющие таким свойствам называются группами.
Примеров групп и инволюций в нашей жизни много: поворот на 180°, зеркальное отражение, логическое отрицание утверждения, отношение друг/враг... В любом из этих случаев повторное применение операции "отменяет" предыдущее. Все эти примеры можно использовать как аналоги минусов, но ни один из них не является "минусом", применительно к числам. Просто все инволюции ведут себя одинаково, или как говорят математики, они изоморфны группе из двух действий: инволюции и "ничего не делания".
Теперь давайте исследуем умножение.
Умножение на 0
Это свойство нам кажется очевидным, но поглощающие свойства нуля выводятся из дистрибутивности умножения и доказанной нами единственности нейтрального элемента.
Перемножение противоположных чисел
Отсюда следует, что штрих можно переносить с левого множителя на произведение. То есть, что "минус на плюс даёт минус". А отсюда нетрудно получить, что
то есть, что "минус на минус даёт плюс".
Кстати, теперь легко доказать, что (𝑎 + 𝑏)′ = 𝑎′ + 𝑏′:
Итак, в любой алгебраической системе с двумя операциями + и ×, в которой + образует группу, а × ассоциативно и дистрибутивно относительно +, выполняются следующие свойства для противоположных элементов в группе:
Здесь штрихом обозначен противоположный элемент.
Ну и что?
Не думайте, пожалуйста, что я предлагаю именно так объяснять детям в школе операции с отрицательными числами. Великий математик Андрей Колмогоров, в своë время, написал великолепный школьный учебник по математике. Математики были от него в восторге! Однако он "не взлетел", поскольку оказался чересчур формализованным и с ним не смогли работать ни педагоги, ни родители.
Но я уверен, что педагогам очень важно понимать, как корректно вводятся отрицательные числа и какие ограничения есть у простых аналогий и моделей. Вопросы ученики задают разные (и это следует поощрять), так что надо иметь возможность дать максимально корректный ответ, даже если он выходит за пределы школьной программы.
Элементы абстрактной алгебры и теории групп изучаются в педагогических вузах, но в училищах, где готовятся педагоги младших классов, такой подход кажется слишком абстрактным и в ход идут менее корректные модели.
Большая их часть, использующая шаги, деньги, скорости, и т.д. опирается не на числа, как таковые, а на так называемые свободные абелевы группы, которые получаются естественным образом, когда мы начинаем так или иначе пересчитывать предметы или действия. При этом выражение (𝑎 + 𝑎 + 𝑎) + (𝑎′ + 𝑎′) можно представить, как 3𝑎 + 2𝑎′ или просто, как 𝑎, если взаимно уничтожить пары взаимно противоположных чисел. Это обычно интерпретируют как вычитание: (3 − 2)𝑎 = 𝑎. Но строго говоря, пересчитывая элементы, мы используем натуральные числа, в которых противоположных нет. Если противоположных элементов будет больше, то получится не какая-то отрицательная величина, а положительное количество противоположных элементов: 3𝑎 + 5𝑎′ = 2𝑎′. Поэтому эти примеры кое-что объясняют на интуитивном уровне, но поскольку они не являются аналогиями чисел, они не могут корректно продемонстрировать свойства произведений.
Например, картинку в гирьками можно интерпретировать в виде такой суммы:
Никаких отрицательных чисел здесь так и не возникло, а умножение является не произведением элементов (килограмм или фунтов), а обозначением числа повторений тех или иных элементов. Наконец, и с точки зрения физики, здесь складываются моменты сил, то есть произведения величин различной природы: плеча и силы, а не однородные "числа".
Что же делать?
А есть ли в природе точные аналогии числам? Есть. Например, все преобразования прямой линии, переводящие её саму в себя. Аналогом сложения при этом будут сдвиги вдоль прямой; аналог инволюции — отражение линии относительно выделенной точки, названной нулём; а масштабирование линии, оставляющее ноль неподвижным, работает в качестве умножения. Совпадение настолько точное, что Рене Декарт смог с помощью координатного метода соединить алгебру и геометрию. Окружность тоже можно преобразовывать так, чтобы она переходила сама в себя, так получаются модулярные арифметики. А группы преобразований плоскости дают нам к точную аналогию с полем комплексных чисел.
Поэтому, мне кажется, что самой адекватной моделью, способной познакомить детей с отрицательными числами, является координатная прямая (сначала дискретная, потом, непрерывная) и шаги по ней. Инволюция (поворот на 180°) и масштабирование шагов дают отличную интуицию, плавно и без противоречий подводящую и к отрицательным числам, и к их делимости, и к координатному методу, и к алгебраическим преобразованиям. Именно в таком контексте противоположные числа и давались в моëм учебнике за 5 класс под редакцией Маркушевича (1978).
Надо сказать, и к современным учебникам у меня претензий нет. Но удивительно, что в блогах, каналах, роликах повторяются одни и те же некорректные аналогии и "простые" примеры. И этому "не учат в школе", к этому приводит желание сделать математику "простой" и свести еë в шайтан-коробке калькулятору.
* * *
Сильной стороной русской математической школы всегда была глубокая опора на базу, сочетающаяся с наработанным опытом. Обучить нейросеть или человека можно методично пропуская сквозь них множество примеров до тех пор, пока не установятся нужные связи между нейронами. Можно пойти по-другому и сразу представить решение задачи, как готовую стройную структуру знаний. Эти два способа прекрасно дополняют друг друга. Тем, кто хочет не выучить математику, а понять её, хоть один раз, но имеет смысл получить настолько общие выводы.
