Представьте, что у вас в руках мяч. Вы, как наблюдатель извне, можете сразу сказать, что его поверхность искривлена и это сфера. Но... теперь представим муравья, который живет на поверхности этого мяча и никогда не покидал её. Он не знает о трёхмерном пространстве – для него существует только поверхность, по которой он ходит. Как муравей поймет, что он живет на сфере? Давайте разбираться вместе.
Как муравей может понять, что ползёт по мячу?
Здесь на помощь приходит теорема Гаусса. Она утверждает, что кривизну поверхности можно определить, используя только измерения, проведённые на этой поверхности, без необходимости заглядывать извне.
Ничего не поняли? Сейчас объясню простыми словами!
Допустим, наш муравей решил провести эксперимент. Он строит треугольник, прокладывая маршруты по поверхности мяча, и измеряет углы. Если бы он жил в обычном плоском мире, сумма углов его треугольника была бы ровно 180°. Но на сфере эта сумма окажется больше! Это и есть ключевой признак того, что его мир искривлён.
Опять не очень понятно? Тогда давайте разберёмся, что такое общая кривизна и как она связана с углами треугольников на искривлённых поверхностях.
Что такое кривизна поверхности
Представьте себе три разных мира:
- Плоский мир – это обычная евклидова плоскость, например, лист бумаги или поверхность стола.
- Сферический мир – поверхность круглого мяча, глобуса или воздушного шарика.
- Седловидный мир – например, седло (гиперболическая седловидная поверхность), рампа (горка для скейтбордистов) или картофельные чипсы.
А вот чтобы узнать на каком объекте мы находимся в данное время, и нужна теорема Гаусса, т.е. это можно сделать благодаря нарисованному треугольнику на поверхности этого объекта:
1. Если поверхность плоская и вы нарисуете треугольник, то сумма его углов всегда будет точно 180° (или π радиан). Это свойство знакомо всем из школьной геометрии.
2. Если поверхность имеет положительную кривизну, то углы треугольника будут всегда больше 180°. Например, если взять треугольник на глобусе с вершинами на экваторе и Северном полюсе, то сумма его углов может составлять даже до 270° (!).
3. Если поверхность имеет отрицательную кривизну, то сумма углов будет меньше 180°.
Кривизна напрямую связана с суммой углов треугольника
Гаусс доказал, что кривизна напрямую связана с тем, насколько сумма углов треугольника отличается от 180° и чем больше отклонение от π, тем сильнее искривлена поверхность. Поэтому, это довольно легко запомнить:
- Если сумма ровна π (=180°) – поверхность плоская (объект плоский).
- Если сумма углов больше π (>180°) – кривизна положительная (объект выпуклый).
- Если сумма углов меньше π (<180°) – кривизна отрицательная (объект вогнутый).
Это фундаментальный принцип, который помогает нам понимать, как устроены не только геометрические поверхности, но даже пространство-время в теории относительности!
Вместо заключения
Это удивительное открытие (теорема Гаусса) показывает, что кривизну можно изучать «изнутри», даже не глядя на поверхность «со стороны». Именно этот принцип лег в основу геометрии кривых пространств, а позже и общей теории относительности, где кривизна пространства-времени определяет движение тел во Вселенной.
Таким образом, даже не видя «снаружи», наш муравей с помощью математики может осознать форму того, где он сейчас ползает. И это действительно потрясающе!
Здесь мы с вами рассматривали форму чипсов:
А здесь удивительную фигуру дельтоид:
Здесь как математика спасла жизни летчикам:
А здесь мы можем просто улыбнуться:
А вы знали про теорему Гаусса и что по ней можно легко вычислить искривление пространства?
Благодарю, что дочитали до конца. Лайк – лучшее спасибо мне, как автору!