Математика - это отличающийся необычайной смелостью линий
грандиозный мост между нами и внешним миром.
Горько сознавать, что концы его не закреплены
ни в реальности, ни в умах людей.
Морис Клайн
Еще до начала XX в. было провозглашено и разработано несколько радикально новых подходов к математике.(1) Но поскольку, как отмечает М.Клайн, они до времени оставались в тени, большинство математиков не восприняли их всерьез. Однако в первые десятилетия XX в. в битву за новые подходы к математике вступили гиганты. Они разделились на враждующие лагери и вступили в открытое противоборство.
Идею логицизма, то есть направление в основаниях математики , основным тезисом которого является утверждение о «сводимости математики к логике» впервые начал разрабатывать Готлоб Фреге.
Большинство математиков видели в законах логики незыблемые, вечные истины. Но если законы логики истинны, рассуждали логицисты, то истинна и математика.
Г.Фреге относил математические законы к числу так называемых аналитических суждений. Такие суждения утверждают не более того, что неявно заложено в принципах логики, являющихся априорными истинами. Математические теоремы и их доказательства позволяют нам выявить это неявное. Не вся математика применима к реальному миру, но вся математика заведомо состоит из необходимых истин. Построив в своей работе «Исчисление понятий» (1879) логику на основе явно сформулированных аксиом, Г.Фреге в «Основаниях арифметики» (1884) и в двухтомном сочинении «Основные законы арифметики» (1893-1903) приступил к выводу из логических посылок арифметических понятий, определений и правил.
В свою очередь из законов арифметики можно вывести алгебру, математический анализ и даже геометрию, так как аналитическая геометрия позволяет выразить геометрические понятия и свойства геометрических фигур на языке алгебры. Символика Г.Фреге была чрезвычайно сложной и непривычной для математиков, в силу чего его работы оказали слабое влияние на современников.
А.К.Сухотин в «Философия математики» отмечает:
Будучи лишь частью логики, математика, по мнению логицистов, не должна заимствовать ни у созерцания, ни у опыта никакого обоснования. Все специальные математические термины могут быть представлены кратким перечнем основных понятий, которые принадлежат словарю чистой логики. Доказательство же математических теорем не требует иных аксиом, кроме логических, и правил вывода, помимо тех, что использует логика.
В работе «Принципы математики» (1903 г.) Б.Рассел отмечает:
Тот факт, что вся математика есть не что иное, как символическая логика, — величайшее открытие нашего века.
В начале XX в. Б.Рассел, как и Г.Фреге, надеялся, что если фундаментальные законы математики удастся вывести из логики, то поскольку логика, несомненно, является сводом нетленных истин, математические законы также окажутся истинными — и тем самым проблема непротиворечивости будет разрешена. В книге «Мое философское развитие» (1959) Б.Рассел пишет, что стремился прийти к «совершенной математике, не оставляющей места для сомнений.»
В то время как Б.Рассел в начале XX в. не сомневался, что принципы логики — истины и поэтому они непротиворечивы, А.Н.Уайтхед в 1907 г. предостерегал:
Невозможно формально доказать непротиворечивость самих логических посылок.
И как итог А.Н.Уайтхед начал разрабатывать свое философмское направление - «метафизику процесса», оставив всем искателям истины важный философский завет:
Точный язык должен дождаться завершения метафизического знания.
Многие годы Б.Рассел считал, что принципы логики и объекты математического знания существуют независимо от разума и лишь воспринимаются разумом. Знание объективно и неизменно. Идеи, в общих чертах намеченные Б.Расселом в «Принципах математики», были подробно развиты им совместно с А.Н.Уайтхедом в трехтомном труде «Основания математики» (1910-1913 гг)
Во втором издании своих (1937) Расселу пришлось пойти на еще большие уступки. По его собственному признанию, «весь вопрос о том, что считать принципами логики, становится в значительной степени произвольным». Аксиомы бесконечности и выбора «можно доказывать или опровергать, лишь исходя из эмпирических данных». Тем не менее Б.Рассел продолжал настаивать на единстве логики и математики.
Но и подобные признания не смогли заставить критику умолкнуть. В своей книге «Философия математики и естественных наук» (1949) Герман Вейль писал о том, что Рассел и Уайтхед возвели математику на основе
не просто логики, а своего рода рая для логиков, мира, снабженною всем необходимым «инвентарем» весьма сложной структуры… Кто из здравомыслящих людей осмелится утверждать, что верит в этот трансцендентальный мир?.. Эта сложная структура требует от нас не меньшей веры, чем учения отцов церкви или средневековых философов-схоластов.
Критика логицизма имела и другой характер. Хотя в трех томах «Оснований математики» Рассела и Уайтхеда не нашлось места для последовательного построения геометрии, ни у кого не вызывало сомнений, что такое построение вполне осуществимо, если воспользоваться, как об этом уже говорилось, аналитической геометрией. Тем не менее иные критики утверждали, что авторы, сведя к логике систему аксиом целых чисел, тем самым свели к логике арифметику, алгебру и математический анализ, но не свели к логике «неарифметические» разделы математики, например геометрию, топологию и абстрактную алгебру. Сам Рассел сомневался, что всю геометрию удастся вывести только из логики.
Философы также подвергли логистическое направление серьезной критике, суть которой сводилась к следующему.
Если основной тезис логицизма верен, то вся математика является чисто формальной, логико-дедуктивной наукой, теоремы которой следуют из законов мышления. Казалось необъяснимым, каким образом с помощью дедуктивного вывода одни лишь законы мышления могут привести к описанию неисчерпаемого разнообразия явлений природы, к различным применениям чисел, геометрии пространства, акустике, электромагнетизму и механике.
А.Пуанкаре утверждал по поводу логицизма:
Эта наука [математика] не имеет единственной целью вечное созерцание своего собственного пупа; она приближается к природе, и раньше или позже она придет с ней в соприкосновение; в этот момент необходимо будет отбросить чисто словесные определения, которыми нельзя будет довольствоваться.
В книге «Мое философское развитие» (1959) Б.Рассел заключает:
Восхитительная определенность, которую я всегда надеялся найти в математике, затерялась в путанице понятий и выводов… Это оказался поистине запутанный лабиринт, выхода из которого не было видно.
С.К.Черепанов в статье «ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИКИ: НОВЫЙ ВЗГЛЯД НА ПРОБЛЕМУ» отмечает:
Направление, называемое логицизмом, привязывало редукцию сомнительной теоретико–множественной математики к своеобразной теоретико–типовой логике, пригодной, по мнению Рассела, для экспликации без противоречий основных математических конструкций. Даже если не опасаться болезненного для логицизма вопроса, в какой мере логизированную форму теоретико–множественной математики, включающую в себя аксиому бесконечности, можно назвать логикой, странной кажется сама оценка логики как более достоверной, чем математика, области знаний. Для этого логике, по меньшей мере, надо было устранить собственно логические парадоксы, связанные с ее основаниями.
М.Клайн в "Математика: Утрата определенности" отмечает:
А. Пуанкаре (сторонник интуиционизма), столь восхищавшийся на II математическом Конгрессе в 1900 г. теорией множеств (этой основы логицизма), через восемь лет на Конгрессе в Риме назвал теорию множеств тяжелой болезнью, своего рода математической патологией, от которой удалось избавиться.
Еще громче возмущался Л. Кронекер (также разделявший идеи интуиционистов).
Он назвал Кантора шарлатаном, заявив: все, что он сделал в области трансфинитных чисел, в сфере актуальной бесконечности - все это мистика. Пала тень и на математику. Классический анализ, по Кронекеру, - не более, чем игра в слова. Он мог бы добавить, замечает М. Клайн, цитируя Кронекера, что
если у Бога есть несколько математик, то ему следовало бы оставить их при себе.
И даже Д. Гильберт, отличавшийся сдержанностью , с горечью признавался:
Где же еще искать надежность и истинность, если уж само математическое понимание дает осечки?
А.К..Сухотин делает вывод в "Философия математике" по проблеме обоснования математики и попыток её решения логицизмом:
Итак, попытка найти логическое основание существованию математических объектов и правомерности истинностных высказываний о них не увенчалась успехом. Вместе с тем, усилия логицизма не прошли бесследно. Была проделана большая работ, положительно отразившаяся на математических исследованиях.
В заключение снова привожу философский завет лауреата премии Филдса математика Владимира Александровича Воеводского всем искателям истины:
Материальная реальность есть абсолютный судья истины.
Философия- Самая строгая и радостная Наука, "мать всех наук".
Кто против?
1. Клайн М. МАТЕМАТИКА: УТРАТА ОПРЕДЕЛЕННОСТИ — М.: Мир, 1984.