Точка Е - середина боковой стороны трапеции АВСD. Докажите, что сумма площадей треугольников ВСЕ и АDE равна половине площади трапеции.
Доброго времени суток , уважаемые читатели!
В предыдущей статье показала решение подобной задачи. Там точка Е была на средней линии трапеции, а в этой - на середине боковой стороны.
Доказательство.
1) Через точку Е проведем высоту трапеции РН и среднюю линию ЕN.
Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям.
Рассмотрим прямую АВ. На ней отрезки АЕ и ВЕ равны по условию. Через их концы проведены три параллельные прямые ВС, EN и AD. Тогда по теореме Фалеса эти прямые отсекут на второй прямой РН равные отрезки ЕP и ЕН.
Дальше работаем с формулами.
S∆BCE=½BC•EP
S∆ADE=½AD•EH
Так как ЕР=ЕН=½РН, сделаем замену:
S∆BCE=½BC•½РН
S∆ADE=½AD•½РН
2) Найдем сумму площадей треугольников ВСЕ и АDE.
Вывод. Сумма площадей треугольников ВСЕ и АDE равна четверти от произведения высоты на сумму оснований.
3) Запишем формулу площади трапеции, согласно чертежу:
Найдем половину площади трапеции, выполнив преобразования:
Вывод. Половина площади трапеции равна четверти от произведения высоты на сумму оснований.
Сравнивая сумму площадей треугольников и половину площади трапеции делаем вывод 👇
Сумма площадей треугольников ВСЕ и АDE равна половине площади трапеции АВСD
или на языке геометрии
S∆BCE+S∆ADE=½SABCD,
что и требовалось доказать .
В общем виде задача выглядит так:
Для вас теорема Фалеса трудна для понимания?
Тогда доказать равенство высот треугольников можно через признак равенства прямоугольных треугольников ВЕР и АЕН.
Но доказывать, что высоты в треугольниках ВСЕ и АDE равны, надо обязательно.
Вам какой способ более нравится? Напишите в комментариях.
В следующий раз покажу задачу 21 👇
Решение заданий 20, 22, 23, 24, 25 из этого списка увидите, если нажмёте на синие цифры 😊.
Р.S. Задачи решаю, оформляю в бумажном варианте и храню в папке для файлов. Это для внуков. А для вас, мои дорогие друзья, публикую на канале.
Вдохновение в геометрии нужно не меньше, чем в поэзии - с этим высказыванием А. С. Пушкина я согласна. А вы?
До скорой встречи✋.
С вами автор Любовь.