Вопрос о том, есть ли бесконечность у бесконечности, звучит как парадокс, но для математиков это серьёзная и захватывающая загадка. Новое исследование, проведённое учёными из Венского технологического университета и Барселонского университета, добавило в этот «лес» два новых уровня — так называемые строгие и ультрастрогие кардиналы.
Что такое бесконечность?
Математики давно классифицировали бесконечности в виде иерархической лестницы, где одни бесконечности «больше» других. Например:
- ℵ₀ (алеф-ноль): Бесконечность натуральных чисел (1, 2, 3…).
- Бесконечность вещественных чисел: Включает все дробные и отрицательные числа, а также бесконечное количество чисел между 0 и 1.
Такие бесконечности описываются с помощью так называемых аксиом крупных кардиналов, каждая из которых задаёт уникальный тип бесконечных чисел с особыми свойствами. Однако новые строгие и ультрастрогие кардиналы не вписываются в привычную структуру.
Строгие и ультрастрогие кардиналы: что это?
По словам Жоана Багарии, математика из Барселонского университета, эти новые кардиналы «существуют на самых верхних уровнях иерархии крупных кардиналов» и обладают свойствами, которые заставляют переосмыслить природу бесконечности.
- Строгие кардиналы: Имеют более «сильные» свойства, чем предыдущие известные кардиналы. Они взаимодействуют с математической вселенной неожиданными способами.
- Ультрастрогие кардиналы: Ещё более мощная версия строгих кардиналов, обладающая дополнительными «суперсилами», которые усиливают их влияние на бесконечность и математическую теорию.
Бесконечность и порядок: гипотеза HOD под угрозой
Математики давно пытаются понять, можно ли «упорядочить» бесконечность. Одна из таких гипотез — гипотеза HOD (Hereditary Ordinal Definability), которая предполагает, что даже самые хаотичные бесконечности можно включить в более широкий порядок.
Но новые кардиналы усложняют эту картину. По словам Хуана Агильеры, соавтора исследования, ультрастрогие кардиналы ломают традиционные схемы. Они взаимодействуют с уже известными бесконечностями «странным образом», что может стать доказательством против гипотезы HOD.
"Если это так, структура бесконечности может быть гораздо сложнее, чем мы предполагали," — утверждает Агильера.
Почему это важно?
Эти открытия — не просто абстрактные математические теории. Бесконечность лежит в основе ключевых технологий и областей науки:
- Криптография: Теории бесконечности помогают разрабатывать алгоритмы для защиты данных.
- Космология: Понимание бесконечных структур связано с изучением чёрных дыр и устройства Вселенной.
- Искусственный интеллект: Алгоритмы, основанные на теории множеств, зависят от исследований бесконечности.
Кроме того, такие открытия ставят философские вопросы. Если бесконечность продолжает преподносить сюрпризы, можем ли мы полностью понять устройство Вселенной?
Оригинал этой статьи расположен по адресу: https://www.pravda.ru/news/science/2164094-new-types-of-infinity/