О современных методах гидравлического расчёта трубопроводных систем

Дугинов Л.А. L.duginov@mail.ru

Ключевые слова: современные методы, гидравлический расчёт, сложные системы трубопроводов, итерационная формула, начальные исходные данные, расчёты на базе Mathcad.

Введение

Эта статья написана для расчётчиков гидравлических цепей, вынужденных пользоваться "первобытными" методиками 1930-х не имея возможности приобретать дорогие современные программы, разработанные итальянцем Тодони и его последователями начиная с конца 1980-х годов. Опыт работы с 1972 года позволяет утверждать, что предложенный Вам данный простой и универсальный метод решает с успехом все типы задач, доступные программам Тодони и его последователям. Как это могло случиться -это тема специального исследования, а пока читайте опубликованные материалы (см. л.1-л.8). Автор этой статьи, конечно, не предлагает забыть всё, что Вы знали о гидравлических расчётах, речь пойдёт только о самом главном- о методе решения системы нелинейных степенных уравнений, неизбежно применяемых при любых гидравлических расчётах сложных трубопроводных схем.

Рис.1 Классификация методов расчёта гидравлических схем сложных систем трубопроводов

Из приведённых на рис.1 пяти итерационных методов расчёта только "методы линеаризации нелинейных уравнений" построены на простых алгоритмах, не требующих применения сложных формул высшей математики (как в методах расчёта Якоби, Зейделя и Ньютона). При этом, во всех этих методах расчёта постоянно существует необходимость задавать хорошее начальное приближение для получения быстрой сходимости итерационного процесса.

Этих недостатков лишен метод Тодини GGA. Однако для сложных гидравлических сетей, в которых имеются участки контура с сопротивлениями, отличающимися на 10 порядков и более, данный метод не обеспечивает сходимости итерационного процесса, особенно для сетей с регуляторами расхода и давления.

Список литературы, в котором можно познакомиться с "методами линеаризации нелинейных уравнений",получен из Интернета и разделён на два списка: статьи л.1-4. -посвящены новому универсальному методу решения системы нелинейных уравнений в гидравлических расчётах. Информация в литературе л.6-7.- это разные попытки улучшить метод линеаризации, впервые показанный в книге Коздобы А.Л. (см.л.5)-1972г.

К недостаткам всех методов расчёта л.5-7 относится зависимость количества итераций от:

• величины начального расхода (см.рис.2),
• наличия в схеме сопротивлений, отличающихся на 10 порядков и более,
• .включения в схему необходимого числа регуляторов расхода и давления.

В методе расчёта (см. л.1-4) указанные ограничения в проведённых расчётах не обнаружены. К общим достоинствам метода линеаризации нелинейных уравнений можно отнести простой математический аппарат, не требующий соответствующей подготовки , как в первых 4-х методах классификации (рис.1).

Рис.2 Зависимость количества итераций от величины начального расхода

красная линия - метод линеаризации по формуле (4),показанной ниже, зелёная линия - метод линеаризации по ( л.5).

Краткая информация о новом универсальном методе решения системы нелинейных уравнений в гидравлических расчётах

Более подробная информация об этом методе можно прочитать в опубликованных ранее статьях (см. л.1-4). Ниже приводится вывод итерационной формулы на базе которой выполняется весь процесс вентиляционного расчёта.

Введём обозначения: dH-падение давления на участке, (Па). Z- квадратичное объёмное массовое сопротивление, (кг/м^7). ZL-линейное объёмное вентиляционное сопротивление, (кг/(м^4*с)). Q- расход среды через участок, (м^3/с)

Данная методика гидравлического расчёта, основана на простых физических принципах с простым математическим аппаратом, решает все задачи, которые ранее были доступны только очень дорогим отечественным и зарубежным программам.

Ниже приводится полная распечатка расчёта гидравлической цепи, схема которой показана на рис.3. Схема состоит из 13 ветвей (трубок) и 6-ти контуров. Диаметры и длины трубок указаны ниже в исходных данных расчёта. Внутри трубок движется вода под действием напорных элементов: H1,Н2 и Н3, включённых как показано на схеме рис.3. Коэффициент трения воды в трубках для 1-й итерации принят равным: 0,04 (для всей схемы) и в дальнейшем в процессе расчёта он пересчитывается в зависимости от местного значения критерия Рейнольдса. Кроме того, в первые 3 ветви схемы, включены три регулятора расхода воды через эти ветви. Установка на максимальный расход воды через эти регуляторы приводится ниже в исходных данных.

Гидравлический расчёт выполняется итерационным методом.

Для 1-й итерации величины линейных сопротивлений ZL определяются по формуле (3). Как указывалось выше (см.рис.2) количество итераций не зависит от величины начальных расходов, поэтому в любом расчёте можно задать qk=1 тогда ZL=Zk*1=Zk, т.е. ZL=Zk (только численно, т.к. размерности у них разные).

Для 2-ой и последующих итераций в качестве итерационной формулы расчёта линейных сопротивлений ZL в каждой ветви используется только формула (4).

Рис.3

Для резкого сокращения объёма программы,написанной на Mathcade, расчёт выполняется в матричной форме и по методу контурных расходов.

Ниже приведены 4 таблицы, с результатами расчёта на всех 13 ветвях схемы где: qmk - массовые расходы воды-(кг/с), DH- падение напора на участке - (Па), Vk - скорость движения воды-(м/с), ZZL-линейные сопротивления -(кг/(м^4*c).

Выводы

1. Гидравлические расчёты сложных трубопроводных систем, проведённые в среде Mathcad по описанному выше простому и универсальному методу (с итерационной формулой 4) показывают, что нет необходимости выполнять их по таким сложным алгоритмам, как в методах: Якоби, Зейделя, Ньютона и Тодини (GGA).
2. Сходимость итерационного процесса (по новому методу расчёта) для сетей с регуляторами расхода стабильно обеспечивается за 30-40 итераций, что обеспечивает точность расчёта до 0,001%.
3. Гидравлические расчёты по старым методам, использующих так называемые двойные циклы итераций (внешний и внутренний), требуют чрезмерно большое число итераций для достижения необходимой погрешности при увязки участковых расходов.
4. Представленный метод расчёта сложных гидравлических схем трубопроводов в сочетании с матричной формой записи уравнений, позволяет применить систему компьютерной математики Mathcad, что позволяет обойтись без использования специальных программ, дорогих и недоступных широкому кругу пользователей.
5. Данную программу на Mathcad можно применять как универсальную для расчёта гидравлических схем разной конфигурации и количества элементов трубопроводов, входящих в неё. Для этого достаточно изменить исходные данные входных параметров, так как итерационная часть программы с формулами в матричной форме остаётся без изменений для всех вариантов расчёта.

Литература

1. Аврух В. Ю., Дугинов Л. А., Карпушина И. Г., Шифрин В. Л. Математическое моделирование на ЭВМ вентиляционных систем турбогенераторов // Электротехника. – 1975. – № 12.
2. Аврух В.Ю., Дугинов Л.А. Теплогидравлические процессы в турбо- и гидрогенераторах -М.: «Энергоатомиздат»,1991, стр. 50-55
3. Дугинов Л.А., Розовский М.Х. Простой метод расчёта для сложных гидравлических систем., ТПА,-2020. -№2 (107).-50c.
4. Корельштейн Л.Б. О сходимости метода "Прогнозируемого расхода" расчёта гидравлических цепей, Материалы XVIII Всероссийского научного семинара, Автоматизация и информатизация ТЭК. 2023. № 12(605). С. 44–52
5. Коздоба Л. А. Электрическое моделирование явлений тепло- и массопереноса. – М.: «Энергия», 1972
6. Мызников А.М. Решение больших систем нелинейных уравнений применительно к задачам расчета гидравлических, тепловых и электрических сетей // Математические структуры и моделирование. Омск: Омский гос. ун-т., 2003, вып. 11, с. 15-19.
7. Логинов К.В. Модели и алгоритмы расчетов режимов работы сложных гидравлических сетей. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Омск, 2004,137с.
8. Богданов А.Е. Торшина О.А. Сравнительный анализ методов численного решения систем нелинейных уравнений. Международный научно-исследовательский журнал. - 2019.- №4
9. Банников А.С., Ким И.Г., Латыпова Н.В. Численные методы: учеб. пособие. Ч.1.- 2-е издание., Ижевск: Издательский центр" Удмурский университет",2018-80 с.
10. Михайловский Е.А. Новицкий Н.Н. Модифицированный метод узловых давлений для расчёта потокораспределения в гидравлических цепях при нетрадиционных замыкающих соотношениях. Научно-технические ведомости СП6ГПУ, Физико-математические науки № 2 (218) 2015.
11. Белова О.В. Волков В.Ю. Скибин А.П. Метод контрольного объёма для расчёта гидравлических сетей. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 5..
12. Гудков А.Г. Совершенствование методики распределения в водопроводных сетях с регуляторами расхода и напора. Вологодский государственный университет, 2020.
13. Меренков А.П. Дифференциация методов расчёта гидравлических цепей. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1973 том 13, вып.5, страницы 1237-1248.
14. Дьяконов В.П. Mathcad 8-12 для студентов. Москва СОЛОН-Пресс, 2005.