Как я уже писал в предыдущей статье – [Научный метод #1: Информация] – точное числовое значение вероятности можно получить всего лишь двумя способами: на основании симметрии или проведя бесконечную серию экспериментов.
Если c невозможность. бесконечной серии экспериментов все самоочевидно – для проведения оной потребовалось бы бесконечное время, то вот с вычислением вероятности на основе симметрии существует недопонимание.
Казалось бы, вот у нас есть обычный игральный кубик с шестью гранями. Очевидно же, что шанс выпадения каждой грани равен строго 1/6, не так ли? На самом деле – не так! Почему же? Потому что для математика симметричность кубика – это не ожидание, возможно неверное, а аксиома.
То есть математик рассматривает только тот вариант, в котором кубик строго симметричен. Но если мы говорит о реальном игральном кубике – то у нас нет абсолютно достоверного подтверждения о его симметричности. Как следствие – нельзя утверждать, что физический «вроде как симметричный» кубик имеет точное числовое значение для вероятностей, с которой выпадают те или иные грани.
Если не число – то что?
Если вероятность в наших моделях не числа – значит ли что наука и ее фундамент в виде математики бессильны? Конечно же нет! Просто вместо конкретных чисел используются плотности вероятностей. Ну или распределения – кому что больше нравится. Благо они однозначно переводят друг в друга. По умолчанию я использую плотности.
Напомню проблему, описанную в предыдущей статье. У нас есть стрелок, совершивший два выстрела – при этом один раз он попал, а один раз – не попал по мишени. Очевидно, невозможно утверждать, что он всегда промахивается и всегда попадает.
Говоря языком теории вероятности 1 (всегда попадает) и вероятность 0 (всегда промахивается) имеют 0-вероятность. Да – «вероятность вероятности» — это и есть базовая идея, на которой построена плотность вероятности.
Но что можно сказать о том, насколько вероятны промежуточные вероятности в случае нашего стрелка? Первое – что все вероятности во сколько-то раз больше или меньше других. Звучит это слегка заумно – но достаточно посмотреть на график ниже.
Второе что удивляет людей – все эти вероятности бесконечно малы. Да – в том числе и вероятность того, что меткость стрелка – ½. Есть одно наглядное объяснение этого факта. Площадь под графиком конечна, а количество вероятностей – между 0 и 1 – бесконечно. Поэтому каждое конкретное значение – или равно нулю или положительная, бесконечно-малая величина.
Причем тут познания?
Давайте предположим, что на первой паре выстрелов стрелок не остановился, а сделал еще две пары выстрелов. При этом в результате каждой пары выстрелов – он один раз промахивался и один раз попадал. Ну теперь-то можно сказать, что он попадает с вероятностью ½?
Нет, все еще нельзя – в конце концов количество экспериментов конечно. И вполне может оказаться что реальная частота 1/3 или 2/3. А полученные экспериментальные данный – просто вероятностная флуктуация. Эксперимент то имеет случайную природу.
При этом, если посмотреть на график - становится видно, что по мере накопления данных, распределения стягиваются к ½. И хотя полная определенность и не наступает – но неопределенность с каждым экспериментом уменьшается.
Но почему тогда …
Столкнувшись с приведёнными выше аргументами многие люди задают вопросы, которые можно свести к одной формулировке. Если все так и мы не можем знать точные числовые значения для вероятностей – то почему инженерные расчеты на основе этих самых «точных вероятностей» – работают?
Никакой мистики здесь нет. Просто погрешности в рабочих расчетах, связанные с заменой распределений или плотностей на точные значения – недостаточны для того, чтобы привести к заметным отклонения или авариям.
В качестве аналогии можно рассмотреть постройку дома. При проектировании предполагается, что земная поверхность плоская. Хотя я уверен, что архитектор осведомлен о круглой форме Земли. Но считать проект дома значительно проще для плоскости, а поправки из-за кривизны земной поверхности столь малы - что ими можно пренебречь.
Вместо заключения
В данной статье рассмотрели, как накапливается знание для конкретного вида экспериментов – ограниченное кол-во исходов и результат одного эксперимента не зависит от результатов предыдущих экспериментов.
Важные выводы - каждый эксперимент уменьшает неопределенность и приближает к точным значениям. В то же время достигнуть этих самых точных значений – невозможно. С третьей стороны – количество информации которые приносят эксперименты – конечно. Поэтому, чисто математически, никто не может утверждать, что знает абсолютную научную истину – только с какой-то достоверностью.
В следующих статьях я покажу сформулированные выводы справедливы так же для экспериментов, зависящих от предыдущих экспериментов и экспериментов, результатом которых является непрерывная, а не дискретная случайная величина.