Как я уже писал здесь – математика не наука. И это действительно так по очень простой причине – любая наука выверяет свои модели – наблюдая за реальных миром. Математика же так не делает – вместо наблюдений математика опирается на аксиомы. И вот тут начинается странное - люди не понимают природы аксиом.
Немного истории
Ну или используют древнегреческое понимание этого термина. Аристотель, который предположительно ввел этот термин, а впоследствии и Евклид рассматривали аксиомы как некие самоочевидные вещи. В силу своей самоочевидности – трудно доказуемы, но при этом истинные для любого здравомыслящего человека.
Этот подход просуществовал до середины XIX века. Именно в это время рядом математиков предпринимаются попытки свести 5 аксиом евклидовой геометрии к 4 аксиомам. В этом случае 5 аксиома стала бы теоремой – выводимой из 4 оставшихся аксиом. Ниже приведены обсуждаемые 5 аксиом:
1) От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
2) Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3) Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.
4) Все прямые углы равны между собой.
5) Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых углов, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых углов.
Можно заметить, что 5 аксиома действительно сложнее и ее запись длиннее относительно первых 4 аксиом. Что и зародило подозрения в том, что никакая это не аксиома – а теорема, которую древние греки просто не осилили.
Одним из этих математиков оказался наш соотечественник – Николай Лобачевский. Исследуя пятую аксиому, он обнаружил, что замена этой аксиомы на ее отрицание – не только не приводит к противоречию. Вместо этого новый набор аксиом так же порождает геометрию. Не имеющую внутренних противоречий – но другую.
Не обошлось в упреках о не научности, особенно со стороны академика Фусса. Но видимо такие упреки – обязательно сопутствуют фундаментальным открытиям
Это привело к переосмысление самой концепции аксиомы. Ведь уже нельзя было утверждать того, что аксиома – это истинная самоочевидная истина. Ведь не могут быть одновременно истинной два взаимоисключающих утверждения. А пятые аксиомы в геометрии Евклида и Лобачевского именно таковы – одна является в прямом смысле отрицанием другой.
Но что же тогда такое аксиомы?
В современной математике аксиома уже не рассматривается как некая истина. Вместо этого аксиома – это допущение истинности какого-то утверждения. Допустим есть две аксиомы A и B и вытекающая из них теорема F. Что это означает?
из истинности аксиом A и B следует истинность теоремы F
Обратите внимание – современная математика не утверждает, что теорема F истина сама по себе. Такое утверждения о безусловной истинности было характерно для античных мыслителей. И как показала история с геометрией Лобачевского – это было ошибкой.
Возвращаясь к не научности
Как видно из текста выше математика, во-первых, выводит истинность своих суждений из допущения об истинности неких утверждений (аксиом). Во-вторых, математика не работает с реальным миром. Хотя результаты математики и оказываются очень полезными при описании этого самого реального мира.
Иногда говорят об математическом эксперименте. Необходимо понимать, что математический эксперимент не имеет отношения к эксперименту научному. Научный эксперимент фактически является диалогом между ученым и реальностью. Математический эксперимент – это монолог ученного.
В качестве эпилога
При том, что я отказываю математике в научности – я твердо уверен – никакая наука не может обойтись без математики. Никто не может считаться ученным – не зная и не понимая математику. Потому что математика – это наилучшее средство для накопления знаний, передачей их между людьми, проверки и обработки. Фактический это язык науки.