Приветствую читателей и подписчиков канала Тесты_математика!
В данной задаче нужно упростить выражение с двумя радикалами, или когда корень под корнем. Выражение нужно упростить, по возможности оценить, и избавиться хотя бы от одного из корней.
Задача.
Упростите выражение с радикалами:
√[100/(10 - √99)]
Сначала можно оценить выражение:
Упростите выражение с радикалами: √[100/(10 - √99)] > 0.
А далее начнём преобразование этого выражения.
√[100/(10 - √99) = √100/√(10 - √99) = 10/√(10 - √99).
Выражение записано таким образом, что в числителе нужно просто извлечь корень из 100. Получили натуральное число 10. А знаменатель упростить тоже не сложно.
Умножим знаменатель на сопряжённое выражение: √(10 + √99), и на это выражение умножим числитель, чтобы первоначальное выражение не изменилось.
10 * √(10 + √99)/[√(10 - √99) * .√(10 + √99)] = 10 * √(10 + √99)/[√(10^2 - √99^2) = 10 * √(10 + √99)/(100 - 99) = 10 * √(10 + √99)/1 = 10 * √(10 + √99)/
Преобразования заданного выражения.
Начнём избавляться от радикала в знаменателе, для чего умножим и числитель, и знаменатель на одно и тоже выражение, сопряжённое с выражением в знаменателе, то есть на √(10 + √99)..
Получим следующее после преобразование выражение:
Умножим знаменатель на сопряжённое выражение: √(10 + √99), и на это выражение умножим числитель, чтобы первоначальное выражение не изменилось.
10 * √(10 + √99)/[√(10 - √99) * .√(10 + √99)] = 10 * √(10 + √99)/[√(10^2 - √99^2) = 10 * √(10 + √99)/(100 - 99) = 10 * √(10 + √99)/1 = 10 * √(10 + √99).
В результате получилось в числителе два корня, то есть корень под корнем, что не считается значительным упрощением, несмотря на то, что в знаменателе от радикала избавились. Поэтому преобразовываем числитель дальше. Умножим числитель и знаменатель на одно и тоже число. √2, получим:
10 * √(10 + √99) * √2/√2 = 10 * √[2 * (10 + √99)]/√2 = 10 * √[ (20 + 2 *√99)]/√2 = 10 * √[ (9 + 11 + 2 *√9 * 11)]/√2.
Здесь можно прокомментировать действия.
- Сначала умножили на √2 числитель и знаменатель, и внесли 2 в числителе под общий корень.
- Далее, умножив выражение в числителе на 2, число 20 разделили на 9 + 11.
- А вот теперь из этих чисел будем поучать квадраты, то есть:
9 = (√9)^2 и 11 = (√11)^2. и вставим эти выражения в xислитель, получим:
10 * √[ (9 + 11 + 2 *√)9 * 11)]/√2. = 10 * √[(√9)^2 + (√11)^2 + 2 *√9 * √11/√2
Под внешним квадратом получили квадрат суммы чисел (√9 + √11)^2.
10 * √[ (√9 + √11)^2]/√2 = 10 * (√9 + √11)/√2.
Останется только избавиться от корня в числителе, умножим и числитель и знаменатель на √2.
10 * (√9 + √11) * √2/√2 * √2 = (10/2)(3 * √2 + √22) = 15 * √2 + 5 * √22.
И это ответ.
В видео решение показано в более простом варианте, написанное на доске, что понятнее.
Но с некоторых пор видео в Дзене смотреть не легко, так как экран закрывает реклама. Но в широком формате всё хорошо видно.
Видео.
Пишите ваши методы решения подобных задач.
А также напишите, какой ответ в задаче.
Подпишитесь на канал, Тесты_математика!
чтобы не пропустить новые публикации!
#задачи на логику, #головоломки, #математика, #тест