Говоря о математике, мы, вероятно, имеем в виду
вторичный язык, возникший над первобытным,
который использует только нервная система.
Джон фон Нейман
В наши дни Давид Гильберт довел аксиоматический метод
до горького конца, когда суждения математики,
включая аксиомы, превратились в формулы
и игра в дедукцию свелась к выводу из аксиом тех или иных формул
по правилам, не учитывающим смысла формул.
Герман Вейль
Продолжаем анализировать «обосновательную эпопею» в математике в первой половине XX-го века.
Как отмечает А.К. Сухотин в «ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ», кризисные явления в математике в конце XIX-го века, заставившие обратиться к проблеме ее обоснования, породили еще одно течение - формализм.(1) Первые выступления формалистов связаны с именем немецкого математика Д. Гильберта и относятся к 1902-1904 гг. Но основные идеи этого направления сложились позднее в полемике со сторонниками интуиционизма.
Под ударами интуиционистской критики незыблемость устоев математики была поколеблена. Д.Гильберт, заявив что интуиционизм стремится "развалить и изуродовать математику", и ставит целью вернуть ей прежнюю уверенность. В двадцатые годы Д.Гильберт, его сотрудники и соратники - Вильгельм Аккерман, Пауль Бернайс, Джон фон Нейман- приступают к математической разработке программы формализма.
Первыми сторонниками математического формализма считаются немецкие математики Эдуард Гейне и Карл Тома. Формализм Э.Гейне и К.Тома есть «формализм терминов». Это точка зрения, согласно которой математические выражения относятся к символам, а не к числам.
Г.Фреге жестко критиковал формализм Э.Гейне и К.Тома:
...он не может объяснить применение математики; он путает формальную теорию с метатеорией и он не может дать последовательное объяснение концепции бесконечной последовательности.
В противовес интуиционистам Д.Гильберт утверждал, что интуиция не может быть исходным базисом математических построений, поскольку она неопределенна, расплывчата чтобы получать надежные выводы, Одновременно Д.Гильберт расходится и с логицистами, утверждая, что логика не предваряет математику, ибо прежде, чем оперировать по законам логики со знаками, надо эти знаки иметь, то есть располагать объектами, поддающимися логическим операциям. Никакая наука, в том числе и математика, не может, по его мнению, быть основана только на логике. Наоборот, чтобы производить умозаключения и другие логические операции, мышлению должны быть уже предпосланы некоторые внелогические объекты, существующие наглядно.
Следовательно, ни интуиция, ни логика не могут стать оправданием математики, ее базисом.
В качестве исходной и единственной реальности, с которой имеет дело математика, являются, по мнению Гильберта, знаки. Отвлечение от содержательных аспектов знака, по Гильберту, совершенно необходимо. В противном случае математика утратит характер достоверного и абсолютного знания, ибо, предваряя посылки, мы переходим в область проблематичного (различие во мнениях как раз покоится на различии предпосылок). Отвлекаясь от содержательного момента знаков, переходим в сферу формализованного исчисления. Но простое декларирование математических знаков последней для математики реальностью еще не делает эти знаки эквивалентными предметам действительности. Д.Гильберт ищет дополнительные условия.
Ими и провозглашается требование непротиворечивости, которое регулирует поведение знаков. Непротиворечивость есть внутриматематический аналог критерия практики, используемого в естествознании.
Д.Гильберт, требуя проведения доказательств непротиворечивости теорий, разработал соответствующий механизм реализации этого требования – метаматематику. В то же время, требуя определенного качества самих доказательств непротиворечивости, Гильберт смог нейтрализовать нападки интуиционистов. Тем не менее доказательства непротиворечивости не могли рассеять связанных с парадоксами сомнений.
План Д.Гильберта в этом смысле мог претендовать лишь на дискредитацию интуиционизма, но не на решение проблемы обоснования математики.
Философия интуиционизма не устраивала Д.Гильберта, поскольку интуиционисты отвергали не только бесконечные множества, но и обширные разделы анализа, опирающиеся на чистые теоремы существования, и он яростно нападал на интуиционизм.
По поводу отношения Д.Гильберта к интуиционизму Г.Вейль в том же году сказал:
То, что с этой [интуиционистской] точки зрения надежна лишь часть классической математики, причем далеко не самая лучшая, — горький, но неизбежный вывод. Гильберту была невыносима мысль об этой ране, нанесенной математике.
В одной из статей 1927 года Д.Гильберт выразил свой протест против интуиционизма следующим образом:
Отнять у математиков закон исключенного третьего — это то же самое, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам пользование кулаками. Запрещение теорем существования и закона исключенного третьего почти равносильно полному отказу от математической науки.
Выступая с докладом на Международном математическом конгрессе 1928 года, Д.Гильберт заявил:
Не сомневаюсь, что наш новый подход к основаниям математики, который можно было бы назвать теорией доказательства, позволит навсегда покончить со всеми проблемами обоснования математики.
Два тома «Оснований математики», написанных Д.Гильбертом совместно с П. Бернайсом, в которых эта концепция подробно развивается, вышли в 1934-м и 1939-м годах. Первоначальные надежды Д.Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала, и понятие истинности не удалось свести к логической выводимости. Кроме теорем К.Гёделя, гибельными ударами по программе Гильберта стали результаты Гёделя и Тарского (1931—1933) о невозможности для формальной теории определить собственное понятие истины, отличное от простой выводимости.
В физике Д.Гильберт был также сторонником строгого аксиоматического подхода и считал, что после аксиоматизации математики необходимо будет проделать эту процедуру с физикой.
Формалистская программа вызвала критику со стороны представителей соперничающих направлений. Во втором издании «Принципов математики» (1937) Б.Рассел заметил:
Формалисты напоминают часовщика, который настолько озабочен тем, как выглядят выпускаемые им часы, что забыл об их прямом назначении — измерять время — и не вставил в корпус механизм.
Б.Рассел подверг критике и формалистское понятие существования. Он обратил внимание на то, что
число непротиворечивых аксиоматических систем, которые можно придумать, неограниченно, но интерес представляют лишь такие системы, которые согласуются с эмпирическим материалом.
Формалистская программа была неприемлема и для интуиционистов. Помимо основных различий во взглядах на бесконечность и закон исключенного третьего интуиционисты неоднократно подчеркивали, что они полагаются на смысл математики и стремятся установить, насколько его можно считать здравым, в то время как формалисты (и логицисты) имеют дело с идеальными, или трансцендентальными, мирами, лишенными всякого смысла.
С критикой формалистского направления в основаниях математики особенно резко выступал Л. Брауэр
В лекции, прочитанной в 1912 г. в Амстердамском университете, Л.Брауэр саркастически заметил:
На вопрос, где следует искать математическую строгость, две группировки дают два различных ответа. Интуиционисты отвечают, что в человеческом разуме, формалисты — что на бумаге.
В свою очередь Д.Гильберт обвинил Л.Брауэра и Г.Вейля в том, что те пытаются выбросить за борт все им не подходящее и наложить диктаторские запреты на многие плодотворные области науки. В работе 1925 г. Д.Гильберт назвал интуиционизм изменой науке. Тем не менее Г.Вейль считал, что Гильберт, по существу, ограничил свои принципы интуционистскими.
Итак, к тридцатым годам XX века сложились четыре различных, конфликтующих подхода к математике, и сторонники различных направлений вели между собой ожесточенную борьбу.
Положение, сложившееся в 30-е годы, красочно описал математик Эрик Темпл Белл:
Как известно большинству математиков по собственному опыту, многое из того, что одно поколение математиков считает надежным и удовлетворительным, имеет шанс обратиться в тончайшую паутину под пристальным взором следующего поколения… Знания как в некотором смысле разумного общего соглашения по вопросам обоснования математики, по-видимому, не существует… Ясно одно: одинаково компетентные специалисты разошлись и продолжают расходиться во мнениях по поводу простейших рассуждений, хоть в малейшей степени явно или неявно претендующих на универсальность, общность или неоспоримость.
Что могла ожидать математика от будущего?
Итоги «обосновательной эпопеи» первой половины XX-го века.
С.К.Черепанов в статье «ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИКИ: НОВЫЙ ВЗГЛЯД НА ПРОБЛЕМУ» делает выводы:
Неудачи классических программ были связаны с неадекватной трактовкой самой проблемы обоснования и объективно не были неизбежными.
Между тем то, что проблема обоснования математики снята с повестки дня, на наш взгляд, нельзя считать оправданным.
Согласен с выводом:
Исходным пунктом обосновательной деятельности становится то, что послужило причиной кризиса оснований математики, – проблема парадоксов. Обоснование математики в этом случае есть непосредственное разрешение парадоксов. Разрешение подразумевает выявление рационального зерна в самой структуре парадоксальной ситуации, могущего при правильном, бережном отношении дать полноценный “урожай” достоверных образов. Очевидно, что открытие возможности рациональной трактовки парадоксальной ситуации неотделимо от переоценки логического инструментария, применение которого не позволяло прежде развить непротиворечивую трактовку фигурировавшей в парадоксе смысловой неопределенности. В этом плане разрешение парадокса предполагает изменение самой логики.
С.К.Черепанов в статье «Обоснование математики: итоги и перспективы» (2018) дополняет свои выводы:
Все прежние обосновательные программы (Цермело, Рассела-Уайтхеда, Гильберта) оказались дискредитированными, а новых предложено не было. Такова ситуация и на настоящий момент...
Столетие суеты и ноль результатов! Сформировалось не одно поколение исследователей, которые научились заниматься комментаторством, не решая никаких проблем и даже не ставя подобных целей. Да и зачем их ставить, если наперед известно, что в подавляющем большинстве все интригующие задачи неразрешимы?
А.К.Сухотин в «ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ» подводит итог как формалистского направления, так и в целом по всем "классическим" программам обоснования математики:
Обзор классических, если можно так сказать, направлений (логицизм, интуиционизм и конструктивизм, формалистское течение) и современных подходов (аксиоматический и теоретико-категориальный) показывает, что проблема философского обоснования такова, что она постоянно остается проблемой и, очевидно, останется таковой и в дальнейшем.
С этим выводом не могу согласиться.
Но с этим выводом А.К.Сухотина согласен:
Учитывая особенность задач философского обоснования математики необходимо признать, что "закрыть" эту тему не удастся, потому что систематическое появление различных направлений убеждает в невозможности ни одного из них претендовать на решение, с которым согласились бы все и которое тем самым закрыло бы самое проблему обоснования. Проблема тем и отличается от конкретно-математических, что предполагает и располагает мысль к разнообразию подходов в решении, а это стимулирует переосмысление методов в понимании основ математики, ее предмета.
Венгерский математик Ласло Калмар на коллоквиуме в Голландии еще в 1967 году в докладе "Основания математики. Куда теперь?" высказал важную мысль:
Я предполагаю, что исследование проблем эмпирического обоснования математики будет одним из основных направлений в будущем, если не основным.
Здесь снова уместно вспомнить философский завет лауреата премии Филдса математика Владимира Александровича Воеводского
Материальная реальность есть абсолютный судья истины.
А также философский завет математика, логика и философа А.Н.Уайтхеда
Точный язык должен дождаться завершения метафизического знания.
Итак, общий вывод по "обосновательной эпопее":
Философия - самая строгая Наука, "мать всех наук".
Кто против?
Источники
А.К.Сухотин "ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ"
С.К.Черепанов "ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИКИ: НОВЫЙ ВЗГЛЯД НА ПРОБЛЕМУ"
С.К.Черепанов "Обоснование математики: итоги и перспективы // Образы науки в зеркале философии. Монография / Под науч. ред. В. И. Кудашова. — Ульяновск: Зебра, 2018.
М.Клайн "Математика: Утрата определенности" — М.: Мир, 1984.