В детстве с друзьями часто покупали одну шоколадку на двоих и делили. Разрезать нужно было поровну иначе война и конец дружбы. А как проверить? Совместить две части и посмотреть. Это интуитивно понятное действие. Если два объекта совместились, они равны. Если одни уместился в другой, он меньше.
Неудивительно, что в “Началах” Евклида содержится соответствующая аксиома:
И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
А в школьном курсе равные фигуры определяются, как фигуры, которые совмещаются при наложении. Определение понятное, но неудобное. При попытке наложить нарисованные фигуры, возникают сложности. Вырезать ее, что ли. А кроме того, нет гарантий, что нарисованные фигуры отражают реальность. Может повезло с рисунком.
Движение
Изучая алгебру, дети проходят функции. Правило, по которому каждому числу из множества ставится в соответствие единственное число множества. В геометрии аналогом функций является преобразование плоскости. Правило, по которому каждой точке плоскости ставится в соответствие точка этой же плоскости. Среди преобразований плоскости выделяют движения. Это преобразования, которых сохраняют расстояние. То есть, если точки лежат на расстоянии 5 см, то образы (точки, в которые они перейдут) тоже будут лежать на этом же расстоянии друг от друга.
Самый известный вид движения - осевая симметрия.
Также к движениям относится поворот, параллельный перенос и центральная симметрия, хотя это частный случай поворота.
Любопытно, что любое движение раскладывается в композицию осевых симметрий. То есть, грубо говоря, все движения на плоскости это производные от осевой симметрии.
Движение обладает рядом свойств. Отрезок переходит в отрезок, прямая - в прямую, луч - в луч, а угол - в угол такой же градусной меры. Эти свойства выводятся из определения движения. Если расстояние между точками остается неизменным, то отрезок не может перейти в ломаную. Иначе расстояние между концами отрезка увеличится по неравенству треугольника.
Равные фигуры
Две фигуры равны, если существует движение, которое переводит одну фигуру в другую. Это определение очень близко по духу к наложению, но имеет преимущество. Им удобно пользоваться при решении задач.
Доказать, что две трапеции равны, если четыре стороны одной из них соответственно равны сходственным элементам другой.
Чтобы доказать, что фигуры равны необходимо привести пример движения, который переводит одну фигуру в другую.
Рассмотрим первый случай расположения трапеций.
Построим вектор соединяющий две сходственные вершины. Совершим параллельный перенос вершин трапеции. Тогда отрезок АВ перейдет в отрезок EN, отрезок ВС в NM, CD в MH и AD в EH. Таким образом трапеция АВСD равна трапеции ENMH.
Второй случай.
Тогда сначала применим центральную симметрию относительно точки В, а затем перейдем к первому случаю. Точка В, как центр поворота останется на месте. Точнее перейдет в себя.
Третий случай. Основания не параллельны.
Продлим большие основания до пересечения и повернем трапецию на угол равный углу между основаниями. И опять переходим к первому случаю.