Насколько я могу судить по статистике дочитывания материалов на моём Дзен-канале, одними из лидеров по популярности являются заметки про формулу для вычисления корня,
а также о производной и первообразной модуля.
Из этого несложно сделать вывод, что канал нередко посещают люди как минимум интересующиеся математикой. В связи с этим я хочу обратиться к своим уважаемым читателям за советом, но чтобы ясно его сформулировать, начну немного издалека.
У меня на сайте есть публикация, посвящённая результатам собственных умственных упражнений студенческой поры, условно названных «теорией средних» – желающие могут ознакомиться, а здесь я сжато изложу написанное там.
Ещё со школы я знал, что для некоторой конечной совокупности чисел можно вычислить среднее их значение, причём разными способами – бывает среднее арифметическое, среднее квадратическое и т. д. Из-за этого я не мог не обратить внимание на некую «теорему о среднем», о которой услышал на лекции по высшей математике, когда учился на первом курсе.
Вкупе с представлением о разных видах средних для набора чисел, всё это заставило задуматься об осуществимости вычисления усреднённой величины всех возможных значений функции на некотором отрезке значений её аргумента, а также о том, каким именно будет то среднее, о котором говорится в упомянутой выше теореме – арифметическим, кубическим или каким-то иным.
Я тогда рассуждал так. Сначала рассмотрел непрерывную функцию y=f(x), определённую на отрезке [a; b] и мысленно разбил его на n одинаковых частей. Длина каждой такой части получалась равной Δxₖ = (b – a)/n (в используемых здесь обозначениях подразумевается, что k меняется от 1 до n). Внутри каждого такого отрезка разбиения можно произвольно выбрать точку Cₖ и вычислить значение функции в ней: yₖ = f(Cₖ).
В результате получится совокупность чисел, для которых можно найти, например, среднее арифметическое:
Если мысленно начать неограниченно увеличивать n (количество отрезков разбиения), то легко прийти к заключению, что среднее арифметическое значение функции на отрезке можно определить (в смысле – дать ему определение) в виде предела при n → ∞ (при условии, если сам предел существует). Для такой штуки я позволил себе придумать собственное символическое обозначение следующего вида:
При использовании такой записи получается, что процесс нахождения среднего значения функции f(x) на отрезке [a; b] может быть представлен как результат действия на эту функцию некого оператора “ariph”:
Для удобства я даже дал такому оператору название – «арифия». Дальше мне захотелось поисследовать получившийся (точнее сказать – придуманный) математический объект.
Как оказалось, несложно вывести формулу, позволяющую эту самую арифию вычислять:
Вот здесь-то и выяснилось, что арифия как раз и является тем самым средним, о котором идёт речь в теореме.
Заодно мне удалось установить некоторые свойства арифии (например, то что она является линейным оператором), ну а затем меня понесло дальше и сначала я нафантазировал ещё среднее квадратическое, среднее кубическое и среднее гармоническое значения функции на отрезке, которые обозначил при помощи новых операторов «квадрия», «кубиния» и «гармония». Для их нахождения были выведены следующие формулы:
А далее оказалось, что вполне реально определить (придумать) арифию для функции нескольких переменных или же исходя из факта существования среднего геометрического для нескольких чисел
найти способ вычисления среднего геометрического значения функции, окрестив соответствующий оператор, ну допустим, «геомией»:
Вот такие вот «записки сумасшедшего» получились... Ну а теперь тех, кто дочитал до этого места, хочется попросить о следующем. Мне очень интересно было бы узнать, известно ли в математической науке что-то, подобное изложенному выше (слабо верится, что никто из профессиональных математиков в своих работах до такого не додумался) и находит ли это хоть какое-нибудь практическое применение.