Обожаю задачи, которые так или иначе могут пригодиться в реальной жизни. Вот, например, какой формы должен быть участок в поселке, чтобы при фиксированной площади, периметр забора был наименьшим? А какой должна быть форма, чтобы при заборе определенного периметра, площадь участка была максимальной?
Разумеется, самыми оптимальными в этом смысле будут круглые участки. Судите сами: Допустим периметр забора — 4м. Если участок будет в форме равностороннего треугольника, то его площадь будет равна примерно 0,7-0,8 м². Если участок квадратный — 1 м². Если круглый — 1,2-1,3 м².
Вывод напрашивается такой — чем острее углы, тем меньше будет площадь фигуры при заданном периметре. Наглядный пример: берем квадрат и начинаем тянуть его за противоположенные углы, чтобы он превратился в ромб. Чем сильнее мы будем его растягивать, тем меньше будут два из углов. Перед тем как ромб схлопнется в прямую, его площадь будет стремиться к нулю, хотя периметр будет прежним.
Но вернёмся к реальности. В реальности чаще всего землю нарезают участками прямоугольной формы. Так вот какой формы, с каким соотношением сторон должен быть этот прямоугольник, чтобы при фиксированной площади его периметр был минимальным и наоборот — при фиксированном периметре площадь была максимальной?
Если принять стороны прямоугольника за "х" и "y", то площадь будет равна xy, а периметр 2x+2y. Длина изгороди будет наименьшей, когда x+y достигнет минимальной величины. При постоянном произведении xy, минимальная сумма x+y будет в том случае, когда x=y. Следовательно искомый прямоугольник — квадрат.
Во втором случае рассуждаем аналогично. При постоянной сумме 2x+2y произведение xy, так же как и 2x•2y, будет наибольшим в случае когда 2x=2y или x=y, то есть снова в том случае, когда участок имеет форму квадрата.
Это приводит нас к тому, что к известным со школы свойствам квадрата следует добавить ещё два. Из всех прямоугольников квадрат имеет наименьший периметр при данной площади и наибольшую площадь при данном периметре. Запоминайте, в строительстве пригодится.
С участками всё понятно, нарезать их кругами нерационально, останутся неиспользованные ничейные земли. Но почему не строят круглые дома? Ведь при одинаковой площади круглого и прямоугольного домов, на круглый кирпича уйдет меньше. Дело в том, что круглый дом будет очень сложно заполнить мебелью и другими предметами, ведь по сути любая мебель — это прямоугольник. Да и на стену будет сложно что-то повесить.
Тем не менее понимание того, что при фиксированной площади периметр круга будет самым маленьким можно использовать при строительстве бассейна, загона для скотины или чего-то другого.
Если было полезно и открыли для себя новые свойства квадрата, ставьте лайк, заходите в мой Телеграм и вот ещё несколько интересных статей:
"Невозможная" задача про таракана, которую решат только единицы