Как корабль назовешь, так он и полетит.
Определения задают рамки работы с объектом. Определив равные треугольники как треугольники у которых равны все стороны и углы, обрекли себя на доказательство равенства шести элементов. По крайней мере в первом признаке. Можно выбрать другое определение. Равные треугольники это треугольники у которых равны все стороны. Тогда нужно доказывать, что и углы у них тоже равны.
Какое бы определение не выбрали, с ним придется считаться. Хотя иногда на эти тонкости не обращают внимания. Так произошло с векторами. Самое популярное определение: вектор это направленный отрезок (отрезок для которого указано, какая граничная точка является началом, а какая концом). Проблемы возникают, когда вводится сложение векторов.
Отрезки можно складывать, только когда они образуют третий отрезок.
Но сложение векторов предполагает универсальность. Любые два вектора можно сложить. Для этого достаточно отложить их от одной точки. Но с отрезками такой фокус не пройдет. Отложив отрезок равный данному от другой точки плоскости, получается другой отрезок. Равный, но не тот же самый.
Где же выход
Эта ситуация похожа на обыкновенные дроби. Числитель и знаменатель дроби можно умножить на одно и то же число и получится дробь равная данной. То есть дроби ½ и 2/4 это одна и та же дробь. Хоть и выглядят по-разному. Поэтому рациональное число определяют как класс эквивалентности обыкновенных дробей. Дроби полученные из ½ путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же число попадают в один класс и считаются одним и тем же числом. Поэтому неважно что складывается ½ + ¾ или 2/4 + ¾. В обоих случаях результат будет представителем одного и тоже класса эквивалентности.
Похожим образом поступили с векторами и ввели понятие свободного вектора. Сначала рассматривают направленные отрезки и вводят отношение равенства. Два направленных отрезка равны, если они сонаправлены и длины равны. В некоторых источниках такие отрезки называют геометрическими векторами.
Затем все равные направленные отрезки называют свободным вектором или просто вектором. Таким образом вектор больше не привязан к конкретным точкам. Для выполнения действий выбирается тот представитель, который нужен.
В том числе складывая вектора берем представителей, которые начинаются в одной точке. А так как в любой точке плоскости есть такие представители (потому что отрезок равный данному можно отложить от любой точки плоскости) получается множество равных направленных отрезком. Это множество и есть вектор, который равен сумме двух исходных векторов.
