При дедуктивном построении геометрии, как и любой другой науки, следует исходить не только из основных неопределяемых понятий, но также из некоторых немногих и простых утверждений, т. е. недоказуемых предложений, называемых иногда постулатами (требованиями), чаще же аксиомами (аксиома — греческое слово, означающее «бесспорное положение», а также «почитаемое»), с тем, чтобы, основываясь на них, можно было строго логически обосновать, т. е. доказать все другие предложения, называемые уже теоремами. (В нашем смысле этот термин был введен Аристотелем. Его употреблял не Евклид, а его комментаторы. Первоначальный смысл этого греческого слова был «рассматриваемое».)
У Евклида постулаты и аксиомы, которые он не отождествлял (у него постулаты носят чисто геометрический характер), следуют за вышеназванными определениями.
Вот они.
Постулаты
I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.
II. И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.
III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.
IV. И чтобы все прямые углы были равны.
V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.
Аксиомы
I. Равные порознь третьему равны между собой.
II. И если к равным прибавим равные, то получим равные.
III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.
IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.
V. И если удвоим равные, то получим равные.
VI. И половины равных равны между собой.
VII. И совмещающиеся равны.
VIII. И целое больше части.
IX. И две прямые не могут заключать пространства.
Важнейшим недостатком системы евклидовых аксиом, включая и его постулаты, является ее неполнота, т. е. недостаточность их для строго логического построения геометрии, при котором каждое предложение, если оно не фигурирует в списке аксиом, должно быть логически выведено из последних. Поэтому Евклид при доказательстве теорем не всегда основывался на аксиомах, а прибегал к интуиции, к наглядности и чувственным восприятиям. Например, понятию «между» он приписывал чисто наглядный характер; он молчаливо предполагал, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, непременно должна пересечь ее в двух точках. При этом он основывался только на наглядности, а не на логике; доказательства этого факта он нигде не дал и дать не мог, так как у него отсутствовали аксиомы непрерывности. Нет у него и некоторых других аксиом, без которых строго логическое доказательство теорем невозможно.
Критика евклидовского обоснования геометрии, продолжавшаяся на протяжении нескольких веков и ставшая особенно острой в XIX столетии, привела к попыткам нового дедуктивного построения геометрии, отвечающего современным требованиям науки. Так, немецкий математик М. Паш в «Лекциях по новой геометрии» (1892) разработал главным образом аксиомы порядка, связанные с логически необоснованным до тех пор понятием «между». Затем последовали работы итальянских математиков Дж. Пеано, Дж. Веронезе и М. Пиери. Еще до этого Г. Кантор и Р. Дедекинд исследовали аксиомы непрерывности. Наконец, в 1899 г. появился ставший классическим труд Д. Гильберта «Основания геометрии», в котором он сконструировал аксиоматику геометрии так, что логическая структура геометрии стала совершенно прозрачной.
Не забывай подписаться, чтобы не пропустить новую тему, которая может попасться на экзамене или на уроке
