Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам про очередной парадокс из бабушки наук - теории множеств, который назван в честь нашего нового знакомого Чезаре Бурали-Форте (да-да, именно тот, который придумал причудливое определение 1).
Для того, чтобы разобрать в парадоксе Бурали-Форте нужно знать, что такое такое ординалы. Я уже несколько раз за время существования канала писал о них, и сейчас повторю, тем более, что самое определение чрезвычайно простое.
Итак, считая произвольные предметы, мы используем числа, принадлежащие натуральному ряду. Так вот, в теории множеств в таком случае принято говорить о кардинальных числах (кардиналах), сопоставляю каждому множеству его конечный или бесконечный кардинал.
Множество пальцев на руке имеет кардинальное число 5
Множество натуральных чисел имеет кардинальное число Алеф-0
Что общего у множеств, которые мы рассмотрели? Первое, что приходит на ум, что у них есть некоторый порядок. Множество (да и всякое подмножества) натуральных чисел является вполне упорядоченным, т.е. таким множеством, в котором любая пара элементов сравнима, а также в каждом подмножестве имеется наименьший элемент.
Таким множествам, кроме кардинала, можно сопоставить т.н. порядковые числа - ординалы. Ввел в математику их Георг Кантор, когда пытался разобраться в перипетиях бесконечности.
Ординал ω - первый представитель бесконечных ординалов - весь натуральный ряд (2ω - два натуральных ряда друг за другом).
Теперь рассмотрим множество всех ординалов. Легко понять, что оно также является вполне упорядоченным (мы всё так же можем сравнивать элементы нового множества), а значит ему можно сопоставить, например, ординальное число Ω.
Теперь небольшое отступление для понимания. Ординалы, как и обычные числа можно складывать (объединять), например:
Мы можем утверждать, что ординал объединения (5) больше ординалов 2 и 3. То же самое мы можем говорить и о множестве всех ординалов: его ординал больше, чем ординал любого из его подмножеств.
А теперь возьмем и прибавим к ординалу Ω единичку:
Полученный ординал строго больше, чем ординал Ω. Но постойте, мы же предположили, что Ω - это ординал множества ВСЕХ ординалов, а здесь мы получили еще один! В этом и заключается парадокс Бурали-Форте. а вместе с ним и приговор наивной теории множеств Кантора, допускающей своими же инструментами конструировать противоречивые высказывания.
Для того, чтобы избежать этого и других парадоксов, математики придумали новые аксиоматики теории множеств: Цермело-Френкеля (ZF или ZFC с аксиомой выбора) и фон Неймана — Бернайса — Гёделя (NBG), где появились новые понятия "класс" и "схема аксиом". Впрочем, это уже совсем другая история... Спасибо за внимание!