Поступил вопрос: объяснить разницу между координатным временем и собственным. Объясняю.
Итак, пространство-время, четырехмерное. В нем есть некий аналог расстояния, называемый "интервал". Как и любое расстояние, он не зависит от системы координат: он вообще определяется не через них. Но он может быть выражен через разности координат двух точек. В разных координатах будут разные выражения, но один и тот же результат. Имея координатную систему, мы можем посчитать разности каждой из четырех координат для двух точек. Это будет расстояние вдоль каждой из трех пространственных осей и оно — время, протекшее между двумя точками. Точки называются событиями.
Совершенно ясно, что расстояние вдоль оси мало что говорит о расстоянии в пространстве. Разве что последнее не меньше первого. Аналогично и время мало что говорит об интервале: только то, что интервал не больше. Естественно, речь идет только о времениподобных событиях, о чем дальше.
Но, имея координаты, мы можем определить время между любыми двумя событиями. Это и есть координатное время.
В том числе можно определить и время между двумя показаниями 12:00 на часах летящей ракеты. Да, там будут задержки, но это не помеха. Мы можем рассчитать, а потом, с задержкой, удостовериться. Именно это подразумевается под фразой "видим время на часах ракеты". Получается, что 12 часов (время между двумя такими показаниями) на ракете проходит более, чем за 12 часов в наших координатах (а в четырехмерных координатах есть ось времени, "расстояния" вдоль которой и отсчитывают часы).
Для некоторых задач удобно именно такое время. Вот мы, вот координаты, в них есть какое-то t, и можно записывать все уравнения. Причем в других координатах время между событиями может быть другим; это нормально.
Но для каких-то задач координатное время менее удобно. Так же, как сферические географические координаты очень удобны на Земле и применяются для небесной сферы (хотя небесный Северный полюс еще менее специфичен, чем земной — на земном хоть холодно, хотя геометрически полюс — точка сферы, ничем не примечательная), но для навигации в космосе совершенно неудобны.
Теперь вернемся к ракете и посмотрим на траекторию ее полета в пространстве-времени. Это какая-то кривая (времениподобная), именуемая мировой линией, у которой есть длина. Если скорость постоянна, или кусочно постоянна, то это прямая или ломаная, и с длиной всё понятно: это сумма интервалов между концами отрезков. Так как интервал инвариантен — не зависит от координат — то и длина кривой от них не зависит. В любых координатах будет одна и та же длина. Вот она и называется собственным временем. По-английски proper time; по какой-то странной традиции, proper и improper переводят как "собственный" и "несобственный", видимо, потому, что property — это "собственность".
Физически собственное время — это время по часам, которые путешествуют вдоль данной мировой линии. То есть то время, которое намеряет путешественник.
Ну давайте посмотрим пример. Путешественник улетел с Земли в момент времени 0 по часам Земли со скоростью v, которая "почти с". И летел 1 год по часам Земли. Формулу для интервала τ можно записывать немного по-разному, но мы сделаем это так:
c²dτ² = c²dt² - dr²,
где dr — обычное расстояние в пространстве. Поскольку dr=vdt, то
c²dτ² = c²dt² - (vdt)² = (c²-v²)dt².
Мы видим, что если v≈c, то собственное время маленькое, намного меньше года. Это то время, которое покажут часы летчика.
Парадокс близнецов в одной из форм состоит в том летчик может ввести свои координаты, в которых он покоится, а движется Земля. И там все будет наоборот. Это верно, но Земля и летчик находятся в разных точках в пространстве и потому у них нет общего понятия об одновременности. Это ясно, так как у них по-разному ходят часы. Более того, одновременность не взаимна. То есть координатах Земли событие "пошел год" на Земле одновременно событию "прошел час" на корабле, но второе событие не одновременно первому в координатах корабля: оно одновременно событию "на Земле еще не успели разойтись после моего отлета". Если же летчик развернется, то в момент ускорения одновременность сместится, и его событие "прошел час" станет одновременным событию "прошло почти два года на Земле". Когда он прилетит, то показания сравняются.
Почему сместится одновременность? Да потому что линия (поверхность) одновременности перпендикулярна мировой линии, и если направление линии поменялось, то и поверхность одновременности поменялась. Как и точка ее пересечения с другой мировой линией: осью времени.
Вот мы и разобрались со второй формой парадокса близнецов: с возвращением. Мировая линия летчика состоит из двух прямых кусков: уравнение одного dr=vdt, уравнение другого dr=-vdt, причем dt=1 год. Всё это в координатах Земли. Считаем интервал:
c²dτ² = c²dt² - (±vdt)²
на каждом участке, так что в целом dτ=2dt√(1-u²), где u=v/c.
Поскольку интервал от координат не зависит, такой же результат будет в любых координатах. Собственное время летчика меньше, чем на Земле. На ней, кстати, своё собственное время. Поскольку она никуда не летит, то v=0 и dτ=dt. Собственное время совпало с координатным.
Из-за специфики интервала, самая длинная линия — это ось времени, а ломаная короче прямой. Физически, кто быстрее летает и больше разворачивается, у того меньше собственное время.
Если лететь со скоростью света, то интервал будет равен нулю. То есть собственное время фотонов стоит. И расстояние, которое им предстоит/предстояло лететь, тоже равно нулю. То есть, с нашей точки зрения фотон летит целый год и покрывает световой год, а с его он не летит нисколько и уже прилетел.
Аналогия такая. Вы живёте в городе Турку в Финляндии и отправляете курьера в Университет города Обу. До него на запад около 20 тысяч километров, путь займет три недели. Курьер переходит дорогу и заходит в здание University of Åbo в городе Turku.
Те же шутки можно провернуть в Индии с их Калькутта-Колката, Бенарес-Варинаси, Бомбей-Мумбаи.
Отрезки, для концов которых получается отрицательный (в нашей форме) квадрат интервала, называются пространственно-подобными. Такие точки никак не могут влиять друг на друга. И какая из них идет раньше, а какая позже, зависит от выбора системы координат, то есть системы отсчета. И там нет никакого собственного времени, точнее, оно мнимое. Поэтому такого быть не может.
