Думаю, все, или практически все, знают, понимают и употребляют это слово, но всё же предпочту оттолкнуться от официального определения. А оно звучит так:
"Наитие" - вдохновение, как бы ниспосланное свыше.
"По наитию" - инстинктивно, по внезапной догадке.
Дальше начинаем препарировать в сторону этимологии.
Если сравнить с подобными словами, вроде "житие", "бытие", "убытие", которые соответствуют глаголам "жить" ("жити"), "быть" ("быти"), "убыть" ("убыти"), то получим для "наития" глагол "наити", или же "найти".
Получается, что "наитие" дословно это "находка".
А откуда тогда сам глагол "найти"?
Здесь ещё проще, можно поиграть с приставками, подставляя вместо "на-" другие варианты. Получим "уйти", "прийти", "перейти" и корневой глагол "идти" (да, он совсем по-другому пишется, но когда-то и "прийти" выглядел как "придти", и даже "притти", такой вот он ветреный).
Так же и в несовершенном виде "находить" происходит от "ходить".
Получается, что работает вот такая простая логика - можно идти, идти, идти и на что-то найти, почти как "наступить", или, скорее, "наткнуться".
Теперь проверим по словарю русского языка XI-XVII вв (Словарь Академии Наук СССР, 1983).
Действительно, варианты "наити" и "найти" даются как равноправные. И значений у них было значительно больше, чем сегодня. Кстати, многие из этих значений легко понимаются через частично синонимичный глагол "ступать" (= "идти") с различными приставками:
1) Вступить (=прийти)
"На путь наидем, иже истинный путь жизни" (аналогично сегодня говорят "вступить на путь истинный")
2) Наступить (=начаться)
"А коли, государь, найдет дожжь, и в избе сухово места не было" (то есть "наступит дождь" или "начнётся дождь")
3) Наступить (сверху)
Это значение легко проиллюстрировать сохранившейся до сих пор поговоркой "нашла коса на камень"
4) Спуститься
Сегодня это значение передаётся глаголом "снизойти" от того же корня, но когда-то можно было услышать нечто такое: "Да наидет ти благословение от него". Скорее всего, именно из этого, четвёртого значения, и получилось наше выражение "по наитию", сохранив один из древних смыслов.
На самом деле значений у глагола "наити" было ещё много, больше десяти, а единственное современное - "отыскать" - записано аж под двенадцатым номером. То есть оно было далеко не основным! Только благодаря устойчивым выражениям зачастую и сохраняются утраченные значения, так что фразы вроде "по наитию" и "нашла коса на камень" несут огромную лингвистическую ценность.