Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В последних материалах мы встречались с двумя особенными видами точек – внутренними и предельными, через которые определяли понятия замкнутого и открытого множества. Сегодня я хочу познакомить Вас еще с двумя представителями этого философско-математического зоопарка, которые приведут нас к некоторым важным понятиям.
Внешние точки
Рассмотрим множество А, лежащее в некотором всеобъемлющем пространстве Х (иногда его называют универсум Гротендика – множество, которое по определению включает в себя любое множество). Вне А мы можем выбрать точку А0 такую, что для неё найдется окрестность, которая не пересекается с А. Например, мы можем взять произвольную точку B, измерить расстояние до неё, а окрестность сделать с радиусом вдвое меньшим.
Точка А0, выбранная таким образом, называется внешней (изолированной), а совокупность всех таких точек – внешностью множества А:
Внешность множества А можно еще переопределить как внутренность дополнения А до Х. Действительно, это интуитивно понятно. Множество всех внутренних точек дополнения совпадает с множеством внешних точек относительно множества А.
Граничные точки
Осталось рассмотреть то, что посередине! Рассмотрим такие точки, каждая окрестность которых пересекается и с внутренностью и с дополнением множества А:
Множество таких точек называется границей множества А и обозначается:
Интуитивно понятно, что граница – это не внутренность и не внешность. Можно теперь ввести еще одно эквивалентное определение замкнутого множества:
Множество А является замкнутым тогда и только тогда, когда его граница принадлежит А
Итак, уважаемые любители математики, мы рассмотрели понятия внутренности, внешности и границы для произвольных множеств. В следующем материале мы рассмотрим последнюю из ключевых операций/множеств – замыкание, а затем исследуем их интересные взаимосвязи. Спасибо за внимание!