Гармонический треугольник "Лейбница". Его создатель - человек, который пытался решить великую задачу древности

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Большинство из Вас, без сомнения, знакомы с треугольником Паскаля - одной из самых красивых визуально-алгебраических конструкций, послужившей развитию комбинаторики, теории чисел и теории вероятности.

Про натурную реализацию треугольника Паскаля я писал в этом материале ---->

Однако, не всем известно, что и перу Готфрида Лейбница принадлежит особенный числовой треугольник. Назван он "гармоническим" не сколько из-за своей изысканности, утонченности и невероятной красоты (хотя этого ему не занимать, читайте до конца!), но из-за того, что его ячейками являются элементы гармонического ряда:

Главная загадка, касающаяся гармонического ряда, связана с характером постоянной Эйлера-Маскерони. Напомню, что эта константа равна сумме n членов гармонического ряда за вычетом натурального логарифма от n и равняется примерно 0,577. Математики до сих пор не решили, является ли данное число рациональным или нет

Начинается гармонический треугольник Лейбница с 1. На его двух сторонах стоят числа, обратные номеру строки:

Каждое число равняется числу выше-справа по диагонали минус сосед справа. Кроме того, в отличие от треугольника Паскаля, каждое из чисел равно сумме двух его нижестоящих соседей. Алгебраически можно записать правило построения таким образом:

Важное и интересное свойство гармонического треугольника Лейбница в лестницах, уходящих в бесконечность...

Каждое из чисел равняется бесконечной сумме элементов, стоящих ниже и справа по диагонали, и это касается не только чисел на сторонах треугольника, но и вообще любого его элемента!

Вот это поворот!

Однако, это еще не всё. В англоязычной литературе, в частности в статье "Esteve, Massa; Rosa, Maria (2018-06-22). "The harmonic triangle in Mengoli 's and Leibniz's works"" мне удалось почерпнуть кое-что действительно потрясающее.

Между тем, Пьетро Менголи ввёл понятие "натуральный логарифм" .Источник: https://i.pinimg.com/originals/fe/5c/f5/fe5cf59403b161fdc880abd357f89a8b.jpg

Во-первых, первооткрывателем треугольника Лейбница был итальянец Пьетро Менголи и использовал он его совсем по-другому, нежели Лейбниц.

Если последнего интересовали прежде всего свойства бесконечных рядов, то Менголи использовал его для арифметических целей, а также для квадратур (нахождения площади) геометрических фигур. Внимание на экран:

Конечно, это записи в современной нотации.

Это же площади различных кривых! На самом деле Менголи как и многие математики до и после него пытался решить задачу квадратуры круга. Сделать это у него, конечно, не получилось, но между делом ему удалось правильно вычислить 11 знаков числа Пи.

• Вот такое неожиданное окончание. Спасибо за внимание!
• TELEGRAM и Вконтакте- там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.