Я уже не раз писал, что всеобщее образование не всем на пользу пошло. Дело-то хорошее, но только вот мало научить — надо дать понять, что всё равно ни черта он не знает. Сократа надо учить: "Я знаю, что ничего не знаю". А то потом учёный, который осознает, как мало знает сам и как мало знает всё человечество, выглядит в любой дискуссии бледно в сравнении с шарлатаном, у которого есть ответы на все вопросы.
Но речь сейчас пойдет не о шарлатанах, а о недопереучках, знающих много греко-римских терминов и ошибочно считающих себя очень образованными.
А именно, затравкой этой заметки стал комментарий одного (бывшего) подписчика к заметке о размерности. Мол, на земной сфере есть горы и овраги, которые наносят на карты геодезисты, так что вздор эта ваша двумерность сферы.
Вопрос глупый, но ответ глубокий.
На сфере нет никаких гор и оврагов, конечно: сфера это сфера, она такая и никакая больше, только радиус может быть разным. И она предельно симметрична, так что никаких неоднородностей там быть не может изначально.
Другое дело, что поверхность планеты Земля — не сфера, строго говоря.
Из-за вращения ее форма ближе к эллипсоиду, сплюснутому с полюсов, но эллипсоид — тоже двумерная поверхность. И координаты там те же, долгота и широта. Просто расстояние до центра планеты зависит от координат (от широты), а у сферы не зависит.
Еще точнее форму планеты описывает геоид. Это такая форма, что векторы трех сил в сумме дают нуль в каждой точке: это сила тяжести, направленная к центру масс (геометрический центр), сила реакции (сила давления), направленная перпендикулярно к поверхности, и центробежная сила, направленная перпендикулярно к оси вращения, проходящей через полюса. Геоид не имеет простого уравнения, но это неважно: это двумерная поверхность. По двум координатам можно определить расстояние данной точки от центра, и получить три координаты в какой-нибудь пространственной системе отсчета, надо только знать координаты центра.
Чтобы задать геоид или другую поверхность, надо иметь способ по двум координатам определить точку поверхности. В трехмерном пространстве или как-то иначе — неважно. Но точку надо уметь указать!
Кстати, на геоиде постоянен потенциал. То есть уровень моря — это именно геоид, а не сфера и не эллипсоид.
На мелком же масштабе планета очень неровная: горы, овраги, суточные колебания уровня моря, постройки, складки местности. Конечно, даже перепад между самой высокой горой и самой глубокой впадиной крохотен по сравнению с радиусом Земли, так что Земля почти идеально гладкая, но это в крупном масштабе. А нам приходится работать в мелком.
Эти складки местности наносят на карту геодезисты. Но что такое карта? Если вы читали мою заметку про многообразия, вы знаете, что "поверхность" (многообразие) в общем случае задается набором "карт", показывающих, как две координаты отобразить в трехмерное пространство. То есть геодезисты и создают описание поверхности нашей планеты. Поскольку масштаб мал, то они и создают локальные карты. Всё как в теории! Но карты эти согласованы друг с другом, переход с одной на другую возможен без эксцессов.
То есть набор карт с обозначением высот над уровнем моря и описывает точную форму поверхности нашей планеты. Двумерную поверхность.
Конечно, в ряде случаев карты быстро устаревают. Например, в море есть суточные колебания, сейши, приливы и отливы, сгонно-нагонные явления. Но это не делает поверхность моря трехмерной! Просто поверхность зависит от времени. Меняется, что в этом странного? Если у нас есть регулярное предсказуемое изменение, то карта получается зависящей от времени. Бери карту на нужный час и смотри. Если прогноз невозможен, то это значит, что мы не знаем точно форму, но она двумерная. Просто неизвестная нам точно.
Но нельзя отрицать вот какого нюанса. Пространство-то трехмерно, но вот вблизи поверхности Земли три измерения неравноправны. Два вполне себе равноправны, долгота и широта. Хотя вблизи полюсов они различаются, но это издержки выбранных координат. А вот третье измерение резко отличается: и диапазон изменения не слишком велик, и гравитация в нем действует, и масштаб совсем иной.
Поэтому часто говорят о моделях размерности 2+1 или размерности 2.5. Учитывают глубину только тогда, когда без этого никак, и игнорируют когда можно (уравнения "мелкой воды"). Вводят неравномерные сетки с шагами в километры по горизонтали и метры по вертикали. Ну в самом деле, глубина океана километров 6, максимум 11; высота атмосферы точно не больше 100, кое-кто 80 уже считает космосом: что это по сравнению с размером даже небольшого моря или острова?
Это настолько привычно, что даже не замечается. Мы считаем координаты (долготу и широту) сферическими, ну или "геоидическими", и добавляем поправку на высоту. И это создает впечатление трехмерности.
Но на самом деле тут только две точки зрения может быть:
- либо задача трехмерна, мы работаем в сферической системе координат с центром в центре планеты и задаем три координаты: долготу, широту и расстояние от центра;
- либо задача двумерна и мы задаем две координаты на поверхности, но при этом вынуждены задавать и саму поверхность.
В первом случае мы задаем расстояние от центра через добавку к радиусу, отсчитывая от уровня моря, а во втором мы задаем саму поверхность, указывая, как далеко от центра данная ее точка. Формально это одно и то же действие, но философия за ним разная.
Но в любом случае поверхность Земли двумерна.
Давайте на примере ракет и танков. Ракета летит в атмосфере, то есть в трех измерениях. Можно сказать, что в 2+1, так как 2 и 1 разные. Нам нужно указать цель, то есть две координаты географические и высоту, где взрываться. Если высоту занизим, то ничего страшного не произойдет, главное не превысить.
А вот танку нет нужды указывать высоту, они пока не летают. Танку достаточно указать две географические координаты. Высота над уровнем моря получится сама собой: горка так горка, ямка так ямка. Лучше знать, конечно, но это уже не математика, а военное дело.
А вот вопрос "как же овраги оказываются важны, если по сравнению с размерами Земли это мелочь" заслуживает отдельной беседы.
Напоследок обсудим вот какой нюанс. Какой бы формы ни была Земля, топологически она — сфера. Кривизна (гауссова) в отдельных точках может быть какая угодно, большая и маленькая, даже меньше нуля, но интеграл по всей поверхности всегда один и тот же: как у сферы, 2π. Можно сказать, что кривизна в среднем одинаково зависит от площади поверхности, какой бы поверхность ни была (если только она сфера топологически).
Ровно то же самое и со Вселенной в целом. У нее есть глобальная кривизна, которая могла бы быть положительной, отрицательной и равной нулю. Она оказалась равна нулю. Но в отдельных местах кривизна (а это гравитация) может быть какой угодно большой.