Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Метод доказательства от противного - это один из наикрасивейших методов доказательств, которое придумал человеческий ум. Напомню, что он состоит в постулировании некого утверждения, как верного, с последующей цепочкой доказательств, приводящей к противоречию. Следовательно, делается вывод, что исходное предположение ложно. Круг замкнулся.
Сегодня я покажу Вам пример применения этого метода к доказательству расходимости гармонического ряда:
Имеется множество доказательств расходимости данного ряда, т.е. того факта, что не существует конечного числа, которое является его суммой, но то, которое я покажу, без сомнения - самое простое и красивое.
Взглянув на этот ряд, можно заметить, что каждый его следующей член меньше предыдущего и стремится к нулю, в связи и с чем можно предположить, что когда-нибудь рост остановится. Однако, всё не так просто. Этот факт является необходимым критерием сходимости, но еще не достаточным.
Итак, предположим, что существует некоторое число S. которое является суммой этого ряда:
Задумка в том, что мы можем разложить данный ряд на четные и нечетные слагаемые:
То, что у нас оказывается во второй скобке, после вынесения множителя является именно нашим исходным рядом! Теперь раскидываем слагаемые по разным сторонам и раскрываем S:
Теперь внимательно взглянем на полученное равенство:
Каждый из членов сумму справа больше соответствующего соседа слева. Значит, мы пришли к противоречию, а значит исходное предположение - ложно. Следовательно, не существует такого числа, которое является суммой членов гармонического ряда! Ряд расходится, его сумма равна бесконечности! Спасибо за внимание!