Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу показать Вам очередную удивительную числовую последовательность, которая в 1969 году привлекла внимание американского математика Майкла Сомоса - специалиста по теории чисел. Исследуя эллиптические функции специального вида, Майкл столкнулся с интересной последовательностью, которая и была названа в его честь.
Последовательность Сомоса - это нелинейная последовательность, удовлетворяющая квадратичному рекуррентному соотношению, начинающаяся с последовательности единиц. Начнем с последовательности с порядковым номером 3. Начинается она, как легко догадаться, с трех единиц:
Дальше множители в числителе и знаменатель сдвигаются направо, но ничего кроме единиц не получится. Другое дело с последовательностями с номерами 4 и 5:
Удивительно, но математиками доказано (за 40 с лишним лет!), что ВСЕ члены последовательностей с номерами от 4 до 7 являются целыми числами.
Однако, самое интересное начинается с последовательности №8:
Наконец, появляется несократимая дробь! Более того, все следующие члены последовательности дробные. Для последовательностей Сомоса с номерами, превышающими 8, порядковый номер появления дроби выглядит так:
n - номер последовательности Сомоса
Следует также отметить, что последовательности Сомоса естественным образом возникают при построении криптосистем на эллиптических и гиперэллиптических кривых над конечным полем.
