Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В школе каждый из Вас сталкивался с экстремальными задачами на поиск минимумов и максимумов. Все, так или иначе, научились находить производные, приравнивать их к нулю и анализировать полученные точки.
Но что, если мы имеем, например, функцию двух переменных, да еще и с ограничениями, заданными неявно. Например, требуется исследовать на экстремумы следующую конструкцию:
Конечно, можно пытаться выразить одну переменную через другую, но тогда получится не совсем красивая функция, с которой лень возиться. К счастью, у нас есть возможность использовать замечательный метод множителей Лагранжа. Давайте рассмотрим его, так сказать, на пальцах. Для начала запишем следующую вспомогательную функцию:
Теперь необходимо найти частные производные и решить систему уравнений:
Теперь при полученных значениях множителя находим точки, которые будем исследовать дополнительно:
Точки, найденные нами называются стационарными, а дальнейшие изыскания связаны с вычислением знака второй производной функции F в этих точках. Простейшая запись этих условий сводится к вычислению определителя:
Подставляем и вычисляем определитель в общем виде, что значительно удобнее:
Теперь, если определитель больше нуля, мы получим точку максимума, в обратном случае - минимум:
Вычисляем значения функции в найденных экстремальных точках:
Теперь посмотрим на геометрическую интерпретацию:
Как видно из рисунка, нужно найти наибольшее и наименьшее значение аппликаты плоскости z=x+2y для точек ее пересечения с цилиндром. Спасибо за внимание!