Телескопическая сумма в математике. Как её найти на простом примере

Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Продолжаем решать простые занимательные задачки на ряды. Сегодня у нас не совсем стандартная цель - найти значение выражение длинного, но всё же конечного ряда. Итак, приступаем:

Ключевой путь к решению таких задач - попытаться записать их в общем виде. В данном случае это сделать достаточно просто:

Каждое из подкоренных выражений отличается на 2

С иррациональностями в знаменателе мы так же справляемся, пройдя по проторенной дорожке, а именно домножая на сопряженное выражение:

Теперь нам стоит раскрыть сумму, но только частично:

А теперь внимательно посмотрим на то, что из себя представляют значения под знаками суммы. Понятно, что количество слагаемых в них равно, но, более того, каждый из них соответствует другому! Смотрите:

Телескопический ряд в математике — бесконечный ряд, чья сумма может быть легко получена, исходя из того, что при раскрытии скобок почти все слагаемые взаимно уничтожаются

Таким образом, эти слагаемые взаимоуничтожаются, поэтому:

• Спасибо за внимание! TELEGRAM и Вконтакте- там я публикую не только интересные статьи, но и математический юмор и многое другое.