Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Предлагаю Вам сегодня погрузиться в увлекательный мир математического анализа и обратить свой взгляд на бесконечно вложенные радикалы вида:
Невероятно, но для любого неотрицательного z это выражение имеет вполне себе конкретное значение и, более того, вычислимое абсолютно школьными методами.
Если не хочется читать доказательство, а просто интересна конечная формула, переходите в конец материала
Однако, чтобы наше гордое заявление нельзя было опровергнуть, нужно строго доказать, что итоговое значение в принципе существует. Для этого нужно перейти на язык последовательностей.
Для этого "распилим" на части радикал и посмотрим из чего он состоит:
Каждый из следующих членов этой последовательности отличается от предыдущего лишь дополнительным корнем, поэтому в общем виде её рекуррентное уравнение можно записать так:
Здесь мы говорили о каком-то вполне конкретном n - конечном, но чтобы найти истинное значение бесконечно вложенного радикала придётся перейти к определению предела последовательности.
Одним из распространенных способ доказательства заключается в том, чтобы рассмотреть все члены последовательности и доказать:
- Что каждый следующий член последовательности больше предыдущего. В таком случае говорят, что последовательность монотонно возрастает.
- Что для любого выбранного индекса n, член последовательности с этим индексом меньше некоторого заранее выбранного числа N. В таком случае говорят, что последовательность ограничена сверху.
Это и позволяет сделать вывод о существовании некой "верней полки" у последовательности - её предела. Итак, поехали!
Монотонное возрастание
Будем применять метод математической индукции. Для начала запишем базис индукции:
Понятно, что это неравенство выполняется для любого неотрицательного а. Следующий шаг - индукционный переход. Мы сделаем общее предположение и попытаемся вывести из него еще более общее:
Словами: "если предположить, что n-ый элемент последовательности больше, чем n-1-ый, следует ли, что n+1-ый больше, чем n-ный ?
Рассмотрим n+1-ый элемент и запишем его в нужном виде
Знак больше справедлив как раз потому, что мы только что предполагали в базисе. Отлично, индукционный переход совершен. Наша последовательность монотонно возрастает.
Ограниченность сверху
Абсолютно таким же образом будем доказывать ограниченность. Запишем базис и совершим переход:
- Первое неравенство очевидно: проверьте его, взяв качестве n единицу. Получим корень √a <√a +1.
- Предположим, что и для произвольного n это неравенство верно и выведем из него следующее.
- n+1-ый член запишем по определению, n-ный член по предположению п.1 меньше, чем √a +1 и тем более меньше, чем 2√a +1. Сворачиваем корень и получаем нужное неравенство!
Общая формула
Итак, мы доказали, что последовательность монотонно возрастает и ограничена, следовательно она имеет конечный предел. Дело за малым:
Таким образом, подставляя в полученную формулу числа можно получить следующие замечательные равенства:
Воистину математика прекрасна! Спасибо за внимание! Делитесь материалом в своих социальных сетях!