Обсудим некоторые вопросы о черных дырах. Например, критическую плотность: какая она? Большая или маленькая? А при слиянии черных дыр, средняя плотность растет или убывает? Ну и немного интересных вопросов вокруг.
Для начала вспомним про инвариантность к системе единиц, позволяющую работать в тех единицах, в каких удобнее: выводы от этого не зависят. Мы выберем пока систему, в которой c=1, G=1 (скорость света и гравитационная постоянная), и в ней длина, время и масса измеряются в одних и тех же единицах: в килограммах, секундах или метрах. Это удобно для теории, надо только помнить, что один метр массы — это очень много, а один килограмм длины — это очень мало.
Если мы посмотрим на метрику Шварцшильда, мы увидим там параметр с размерностью длины: гравитационный радиус. В наших единицах это 2M, где М — масса центральной массы, которая искривление и создала. Мы знаем, что гравитационный радиус весьма мал: даже у таких сравнительно тяжелых тел, как планеты и звезды, массы в метрах малы.
Если вам непонятно, как получилась метрика Шварцшильда, можно прибегнуть к анализу размерностей. У нас есть скорость света и гравитационная постоянная как настройки нашего мира. Есть масса тела. И надо из этих трех величин "собрать" единицу длины.
Скорость света c имеет размерность м/с, гравитационная постоянная G — м³/с²/кг. Чтобы "избавиться" от килограмма, надо умножить G на массу. И поделить на квадрат скорости света. Вот и получается GM/c². Вот константу 2 так поймать не получится, но это не так существенно. Главное, что гравитационный радиус тела пропорционален его массе.
А объем шара данного радиуса пропорционален кубу радиуса! А плотность (средняя по шару) есть отношение массы внутри шара к объему шара. Получается, что средняя плотность черной дыры зависит от ее массы и быстро убывает: как квадрат массы!
Если мы упихаем данную массу в шарик гравитационного радиуса этой массы, то получим черную дыру. Получается, что шарик любой плотности станет черной дырой — если достаточно велик.
Отсюда с неизбежностью следует расширение Вселенной. Статичная бесконечная Вселенная, более или менее равномерно заполненная материей, стала бы черной дырой. Возьмите шарик достаточно большого размера: в нем будет достаточно много материи, масса у нее будет такая, что её гравитационный радиус превзойдет радиус шарика. И всё.
Давайте прикинем этот критический размер шара R заданной средней плотности ρ. По условию, этот радиус равен гравитационному:
R = 2GM/c².
Массу выразим через плотность и объем:
R = 8∙⅓∙πR³ρG/c²,
откуда получим
4πR² = 1.5c²/(Gρ).
В левой части, кстати, площади сферы, ограничивающей шар. Плотность воздуха близка к 1 кг на кубометр, что дает R≈12 световых часов, или около 12.7 млрд км. Для воды, которая в тысячу раз плотнее, получается раз в тридцать (корень!) меньше.
Средняя плотность в космосе примерно 3 на 10 в степени 28 кг на кубометр. Это дает радиус в 77 млрд световых лет. Видимая вселенная меньше, но порядок величины сравнимый: 46 млрд. Без расширения было бы интересно. И вот вопрос для размышления: как бы это выглядело для нас, если бы видимая Вселенная стала коллапсировать?
При слиянии черных дыр масса у них складывается (часть уходит в виде гравитационных волн, но пока это проигнорируем). Гравитационный радиус поэтому тоже равен сумме гравитационных радиусов. Объем же получился больше суммы объемов и средняя плотность получается меньше средней плотности исходных черных дыр. Ничего страшного здесь нет.
Обсудим последний вопрос: о коллапсе. Вот звезда сжимается собственной гравитацией и ее радиус убывает, а плотность растет. Конечно, из-за замедления времени мы издали этого не увидим (хотя увидеть горизонт мы так и так не смогли бы: с него не улетают фотоны). Но вот вопрос: плотность в недрах же выше, так почему горизонт не возникает где-то там, в глубине звезды?
Потому что "считается" масса внутри шара, а всё вовне не влияет на гравитационный радиус шара! Вот пусть радиус R звезды близок к гравитационному. Рассмотрим шарик чуть меньшего радиуса: QR, при Q<1. Объем этого шарика (QR)³, масса тоже пропорциональна кубу Q. А гравитационный радиус пропорционален массе, то есть тоже кубу Q. Но ведь Q³<Q, если 0<Q<1, это ясно. Так что у шарика внутри звезды гравитационный радиус еще меньше.
Именно поэтому мы можем посчитать объем звезды в метрике Шварцшильда: интегрируя от поверхности к центру, мы убавляем и гравитационный радиус, причем с опережением. Но множитель всегда меньше единицы: 1-2M/r. И объем получается меньше, чем в плоском пространстве. При той же плотности получается меньшая масса и связанная с ней энергия звезды. Где же остальная энергия? В искривленном пространстве!
Красиво.
Даже если плотность звезды к центру растет - это дела не меняет. Она должна расти быстрее, чем Q⁻³, то есть очень стремительно стремиться к бесконечности. Но так не бывает.
Однако если плотность растет (а она растет, как правило), то коллапс начнется под поверхностью. Но точно не в центре.
До встречи, друзья.
