Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня, простите за тавтологию, закрываем тему замкнутых множеств материалом, в котором рассмотрим, что из себя может представлять их объединение. Казалось бы, здесь всё просто, но математика как обычно подкидывает контрпример, после которого ничто не будет прежним. Итак, поехали!
По традиции предлагаю обратиться к предыдущим материалам:
Итак, поехали!
Вариант 1
Действительно, ведь по определению замкнутое множество - это множество, которое содержит в себе все свои предельные точки. Тут никаких проблем нет.
Вариант 2
В случае расположения внахлест суждениям об объединении отрезков так же ничего не противоречит.
Вариант 3
Может показаться странным, но закрытый луч - это замкнутое множество, о чём я говорил в прошлой статье. Пусть Вас не смущает "бесконечность" справа, ведь данная конструкция всё равно содержит все свои предельные точки, что автоматически подходит к определению замкнутого множества.
Вариант 4
Точка на вещественной прямой - тоже замкнутое множество. Впрочем, объединение его с отрезком никакой коллизии не создаёт. Итоговое множество так же содержит все свои предельные точки, чего не скажешь о множестве, которое я рассмотрю ниже.
Вариант 5. Вырастает парадокс
Начинаем плавно продвигаться к контрпримеру. На первый взгляд всё понятно: берем некий набор точек, вычисляем их объединение и в любом случае получаем замкнутое множество....как бы не так!
Всё зависит от того, какой набор точек мы взяли! Если речь о конечном наборе, то всё так, как я показал на рисунке выше, но если уйти в бесконечность, то неизбежно встретимся вот с таким примером:
Мы находим объединение бесконечного количества таких точек, сжимающихся к нулю, но никогда по понятным причинам его не достигающим.
Что мы можем сказать о точке {0}? Является ли она предельной? Безусловно, ведь у неё в любой окрестности содержится та или иная точка множества-результата:
Так же очевидно, что точка 0 по построению не принадлежит множеству-результату. Значит, мы получили множество, которое содержит не все свои предельные точки и не может претендовать на высокое звание замкнутого.
Получилось, что пересечение любого набора замкнутых множеств - замкнуто, а вот объединение бесконечного набора может быть не замкнуто!
Этим замечательным контрпримером я хочу сегодня закончить разговор о замкнутых множествах. В результате цикла из шести статей у нас есть два "столпа", на которых мы в дальнейшем построим важнейшее математическое определение топологии и топологического пространства:
- Объединение (пересечение) бесконечного набора открытых (замкнутых) множеств открыто (замкнуто);
- Пересечение (объединение) конечного набора открытых (замкнутых) множеств открыто (замкнуто).
Причем у нас получится построить их целых два: через открытые и замкнутые множества. Впрочем, перед этим хотелось бы поговорить о таких понятиях, как внутренность и замыкание. Спасибо за внимание!
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, даже если считаете мои рассуждения "игрой в бисер". На канале есть статьи на любой вкус!