Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу снова поговорить о числах Фибоначчи, известных Вам еще со школьной скамьи. Практически каждый, наверняка, помнит, что каждое последующее число Фибоначчи равняется сумме двух чисел, ему предшествующих:
Ественно, мы можем вычислить любой член последовательности Фибоначчи, зная, как работает алгоритм её построения. Однако, более важен другой вопрос: как мы можем вычислить член последовательности Фибоначчи, зная только его номер.
Сейчас я покажу Вам вывод этой удивительной формулы. Поехали!
Без некоторых элементов линейной алгебры, я думаю, не обойтись
Рассмотрим такое Х, которое включается в себя всевозможные последовательности вещественных чисел
Вот прям все, все существующие
Тогда внутри этого Х обязательно найдется такая последовательность с номером К, что:
Фактически мы сейчас просеяли всевозможные последовательности, и оставили только различные последовательности Фибоначчи. Различные - именно по содержанию, но не по алгоритму построения.
Рассмотрим все эти последовательности и заметим, что их поведение однозначно определяется выбором первых двух членов. Посмотрите:
На языке линейной алгебры это означает, что размерность пространства всевозможных последовательностей Фибоначчи равняется 2, т.е. линейной комбинацией всего лишь первых двух чисел можно получить любой последующий член.
Следующий шаг: найдем среди рассмотренных последовательностей Фибоначчи, такие, что, удовлетворяя исходному алгоритму, они еще и находятся в такой зависимости:
Что значит образуют базис во всевозможных последовательностях Фибоначчи? А это значит, что мы можем разложить любую такую последовательность в виде их линейной комбинации:
Теперь нам остается найти решение системы уравнений, а именно найти α и β:
Теперь остается догадаться, что произвольный член последовательности Фибоначчи в нашем базисе определяется в следующем виде и получить итоговую формулу:
Удивительно, но для любого из значений n данная формула, которая из иррациональностей состоит и иррациональностями погоняет, дает верный натуральный ответ.
- Спасибо за внимание! Любите красивую математику!