Продолжаем разбираться в тонкостях криволинейных координат, а других, если мы хотим объяснить гравитацию, у нас и нет.
В предыдущей заметке мы поняли, какие издержки несут криволинейные системы координат, как это выглядит с точки зрения физики и почему мы не можем отказаться от них.
Теперь разберемся, чем физическое отличается от координатного.
В декартовых координатах в пространстве-времени расстояние τ (называемое чаще "интервалом") выглядит так:
dτ² = c²dt² - dr²
Величина τ/с, если она вещественная, имеет смысл собственного времени: это время в той системе отсчета, которая движется. Если dr=0, то есть движения нет — это просто время. Если же dt=0, то |dτ| имеет смысл расстояния.
В криволинейных координатах этот же интервал запишем так:
dτ² = c²T²(t,r)dt² - X²(t,r)dr²
Иногда можно перейти в другие координаты, в которых T=X=1, чаще нет. Можно или нельзя — определяет равенство нулю специального тензора, зависящего от производных функций T и X: тензора кривизны.
Но даже если можно, нелокальность это все равно не гарантирует.
Хорошо. Выберем точку (t,r), небольшую ее окрестность, и посмотрим, какую физическую длину имеет отрезок, который в координатах dr.
А он имеет длину X(t,r)dr. Вот и получается, что координатное расстояние может отличаться от физического. Так, длина градуса на Земле различна, поэтому "пять градусов" координатного расстояния может быть от 555 км до 0, в зависимости от широты.
То же касается координатного и физического времени. С точки зрения физики, координатное расстояние относится к какому-то наблюдателю (отдаленному на бесконечность или иному - зависит от системы отсчета), а физическое — к тому, который в окрестности данной точки и находится.
Далее получается скорость: координатная dr/dt, и физическая (Xdr)/(Tdt). Первую "видит" отдаленный наблюдатель, вторую измеряет наблюдатель на месте.
Теперь обратимся к скорости света. По определению, для света интервал равен нулю, dτ=0; тогда c²T²(t,r)dt² = X²(t,r)dr², или cT(t,r)dt = X(t,r)dr. Отсюда видно, что физическая скорость света всегда равна с, в любых координатах. Вообще в любых!
Это важно: решаете вы уравнения Эйнштейна, или просто забавляетесь с вращающимися координатами, или строите космологические модели: скорость света изначально равна с, просто по геометрическим соображениям. Просто потому, что интервал равен нулю.
А координатная скорость света может быть какая угодно вообще, если координаты криволинейные. Больше с, если мы вращаемся. Меньше с, как в координатах Шварцшильда. Даже переменная.
Так, может, тогда вообще не говорить о координатной скорости?
Нельзя. Она тоже нужна. Вот, например, опять-таки решение Шварцшильда. Общеизвестно, что падающее в черную дыру что угодно замедляется на горизонте событий и никогда внутрь и не попадет. И можно, в принципе, даже вытащить Сильвера оттуда. Хоть через сто лет. А сам он скажет, что минуты не прошло.
Да, но это координатная скорость падает до нуля. А физическая — нет. Но мы-то смотрим издалека, нам физическая скорость ни к чему: ее фиксирует наблюдатель, который там где-то и подвешен: его часы для нас идут замедленно. Конечно, и скорость он намеряет большую. И кто прав? Оба правы. Надо чётко оговорить, что мы вычисляем. Если "когда и как можно вытащить Сильвера", то нас интересует именно координатная скорость его падения. И как правило нам нужна именно она: ведь Сильвер до горизонта так и не долетит. А постулат о постоянстве скорости света (который в ОТО отсутствует, ибо и так всё понятно — о чём в следующий раз) говорит о физической скорости света. Для ортогональных, декартовых систем физическая скорость совпадает с координатной, поэтому в СТО такое понятие и отсутствует.
Продолжение следует.