Отвечаю на вопросы о скоростях и постулатах. Будет много формул.
Если объект движется в некоторой инерциальной системе отсчета В с векторной скоростью v, а сама система В движется относительно другой система (А) со скоростью u, то скорость объекта относительно А дается формулой
Здесь жирным шрифтом выделены векторы, обычным — их величины, значки = и + означают параллельную вектору u компоненту вектора и перпендикулярную. Скорости выражены в долях с, то есть скорость света принята за единицу.
Давайте проверим, что если |v|=1, то и результат сложения скоростей имеет длину 1 (хотя направление, конечно, может меняться).
Учтем тот факт, что сумма параллельной и перпендикулярной компоненты вектора v дает сам вектор v. Возведем сумму в квадрат и посмотрим, что получится в числителе:
Два других попарных произведения исчезли из-за перпендикулярности слагаемых: скалярные произведения равны нулю. Теперь устраним перпендикулярную компоненту, используя очевидное соотношение: сумма параллельной и перпендикулярной компоненты дает сам вектор. Получим
После раскрытия скобок с учетом того факта, что при умножении вектора на его параллельную компоненту в умножении участвует только эта компонента, так как перпендикулярная даст нуль:
Продолжаем раскрывать скобки, но теперь учтем, что v²=1:
Теперь замечаем полный квадрат:
Это мы упростили числитель формулы после возведения в квадрат. Обратите внимание, что знаменатель в квадрате с ним совпадает. Стало быть, величина скорости равна единице, если второе слагаемое по величине равно единице:
Иными словами, скорость света относительно любой инерциальной системы отсчета всегда одна и та же по величине.
Сложно? Ну, немного. А вы хотели? Чтобы парадоксы делать, надо уметь векторы крутить. С двух рук.
Если скорость v по величине меньше 1 (скорости света), то и релятивистская сумма окажется меньше.
Давайте сделаем ещё одно упражнение: посмотрим, как отклонится вектор скорости света при сложении скоростей по релятивистской формуле. Для этого умножим результат сложения скалярно на v:
Сумма квадратов параллельной и перпендикулярной компонент вектора равна его длине в квадрате (теорема Пифагора), а для вектора v это единица:
Если перпендикулярная к u компонента v отсутствует, то скалярное произведение равно единице; это соответствует равному единице косинусу угла, то есть угол равен нулю. Правильно, это же одномерная формула суммы скоростей: если обе скорости имеют одно и то же направление (или противоположное), то и сумма имеет то же самое направление. Единственная сложность возникает, если обе скорости по величине равны скорости света и направлены противоположно: тогда формула неприменима. Но физически такая ситуация невозможна: свет не может испускать свет, тем более в другую сторону.
Если же параллельная компонента отсутствует, то перпендикулярная имеет длину 1, а скалярное произведение uv=0. Получается, что скалярное произведение в квадрате равно 1-u². Это квадрат косинуса угла между векторами. Значит, синус в квадрате равен u², а сам синус равен |u|. Поскольку по величине это между нулем и единицей, то и угол не может оставаться прямым. Но и совпадать с направлением v тоже не может.