Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам о понятии производной - краеугольном камне не только математического анализа, но и всей науки в целом, ведь именно без неё немыслимо описать разнообразные природные и техногенные понятия, так или иначе завязанные на изменении всевозможных параметров: будь то скорость или ускорение легендарного яблока, упавшего на голову Исааку Ньютону или величина тока в электрической цепи.
А уж сколько различных типов производных придумано в математике для решения тех или иных прикладных или теоретических задач... Достаточно вспомнить огромную совокупность методов исследования функции на экстремальные значения, которые все зависят от понятия производной.
Но в этой статье мы рассмотрим наиболее простое понятие, которое должно стать понятно абсолютно каждому. Итак, поехали!
Рассмотрим две функции:
Давайте посмотрим, чему равны значения этих функций в точке 1:
Значит ли это, что эти функции "похожи" ? Несомненно, определенные разными операциями, конкретно в одной точке (единице) они равны по "воздействию" на аргумент t, но что было до и что будет после этой точки ?
Давайте посмотрим, как ведут себя эти функции при приближении к единице слева:
Заметьте, что при приближении к единице, квадратичная функция как-будто "ускоряет ход". Для того, чтобы придать конкретику этому размытому понятию, мы можем его посчитать.
Вспомним, как рассчитывается скорость движения - это расстояние, деленное на время. Пусть в нашем случае время - это величина изменения аргумента t, а расстояние - величина изменения функции. Пересчитаем некоторые величины по таблице:
Теперь мы понимаем, что наши функции по разному реагируют на одинаковые изменения аргумента t. Очевидно, даже по цифрам, что квадратная функция растет быстрее, чем "корневая", что в целом понятно, если взглянуть на их графики в районе единицы:
То, что мы считали в прошлой таблице можно записать и в общем виде:
Если мы теперь будем всё уменьшать и уменьшать промежуток "∆t", или, говоря на математическом языке, устремим его к нулю, то мы получим выражение, которое и будет называться производной функции в точке t:
Таким образом, величина производной в точке показывает мгновенную (потому что момент времени ∆t, на котором мы измеряем эту скорость, - действительно "мгновение") скорость изменения функции в ней.
Как прощупать это бесконечное сближение с нулём? Ведь, как кажется из простых соображений, если ∆t будет равно 0, то сверху мы получим:
Однако, быть равным нулю и стремиться к нему - совсем разные вещи. Ведь, согласитесь, мы можем с одинаковым успехом найти значение выражение и при ∆t=0,01 и при ∆t=0,0000001.
Конечно, эта проблема возникла не только в наших головах, но и в умах величайших математиков 17 и 18 века: Эйлер, Ньютон и Лейбниц умело манипулировали "бесконечно малыми" величинами, находили выходы из возникающих неопределенностей (например, [0/0]), однако последнее слово в математически строгом определении производной осталось за Огюстеном Коши и Карлом Вейерштрассе, но это уже совсем другая история...
- В следующем материале я покажу, как избавиться от "деления на ноль" в случае реального вычисления мгновенной скорости движущегося объекта. Спасибо за внимание!
Читайте также:
- Много интересного - в телеграм "Математика не для всех"
- Взгляд на философию со стороны технаря - телеграм "Философия не для всех"