Решению неравенств посвящены два задания в ОГЭ по математике: в задании 7 (хотите повторить, читайте статью по ссылке) в основном применяются свойства неравенств, а уже в 13 задании нужно решить неравенство: линейное, квадратное, рациональное или систему неравенств.
Вообще решение неравенств — слабое место школьников, их часто путают с уравнениями — при решении заменяют вдруг знак неравенств на «=», либо, даже если решают правильно, не могут интерпретировать получившийся ответ, показать его на координатной прямой и т.д. В этой статье я напомню вам, как решаются линейные неравенства и их системы.
Прежде всего, вспомним 2 свойства числовых неравенств, которыми будем пользоваться:
1. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
2. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Пример 1.
Решение:
20 – 3(x – 5) ˂ 19 – 7x
Раскроем скобки в левой части неравенства:
20 – 3x + 15 ˂ 19 – 7x
Перенесём неизвестные слагаемые в одну часть неравенства, известные в другую, как и при решении уравнения, не забывая менять знаки при переносе:
– 3x + 7x ˂ – 20 – 15 + 19
4x ˂ – 16
x ˂ (– 16) : 4
x ˂ – 4
Осталось интерпретировать ответ. Лучше всего показать на числовой прямой:
Обращаю внимание, что неравенство строгое (˂, «меньше»), поэтому число (– 4) в наш промежуток не включается, и точка (– 4) на прямой не закрашена. Меньше (– 4), значит, решением неравенства будет являться множество чисел слева от (– 4) (на рис. показано штриховкой).
Решением неравенства будет интервал: (– ∞; – 4). Скобка у числа (–4) круглая. В ответе указываем номер правильного варианта. Это 4.
Ответ: 4.
Пример 2.
То же неравенство, что и в примере 1, только в качестве вариантов ответов представлены числовые прямые:
Здесь правильным будет ответ под номером 1.
Ответ: 1.
Пример 3.
Решение:
Задание сформулировано так, что прежде, чем решать неравенство, нужно его составить, часто этот шаг вызывает затруднения у школьников. Итак, составим неравенство:
6x – 2 > 7x + 8
Решаем так же, как и в примере 1:
6x – 7x > 8 + 2
– x > 10
!!!!! Вот здесь используем правило 2, приведённое в начале статьи: разделим обе части неравенства на (– 1), при этом знак неравенства изменится на противоположный.
x ˂ – 10.
В данном случае, варианты ответов представлены в виде неравенства, правильный вариант по номером 2.
Обратите внимание, что, если бы вы забыли поменять знак неравенства на противоположный и сделали ошибку, то вы бы нашли свой вариант ответа под номером 1. Не забывайте, что каждая ваша ошибка отражена в одном из вариантов ответа.
Ответ: 2.
Пример 4.
Решение:
Решить систему 2 неравенств — значит найти множество общих решений этих двух неравенств. Решаем пошагово каждое неравенство:
Осталось соединить решения на одной числовой прямой. Обращаю внимание, что оба неравенства нестрогие, обе точки будут закрашены на прямой и включаться в решения.
Оба числа отрицательные, поэтому необходимо определить какое из них больше (а, значит, расположено правее, ближе к 0).
На числовой прямой решение первого неравенство (множество чисел) показано красной штриховкой, второго — синей. Эти 2 множества пересекаются — их пересечение, т.е. общее решение показано розовым цветом. Это и есть решение системы: отрезок [– 4; – 13/5].
Правильный вариант ответа под номером 2.
Обращаю внимание, что под номером 1 — неправильный ответ, который вы могли бы получить, если бы неправильно определили взаимное расположение чисел на прямой. Как могли бы получиться другие варианты ответов — порассуждайте сами.
Ответ: 2.
Пример 5
Решение:
Ещё один вариант системы неравенств, которую решаем так же, как и предыдущую. Но по-другому сформулировано само задание, и вариантов ответов здесь нет. Но давайте сначала решим систему:
Итак, решением системы неравенств является множество чисел — отрезок [– 6; – 3].
Теперь вернёмся к вопросу задачи: найти наибольшее значение x, удовлетворяющее системе. Это значит, мы должны найти наибольшее x из отрезка [– 6; – 3]. Это число (– 3).
Ответ: – 3.
Надеюсь, мой, очень подробный разбор решения неравенств и систем неравенств, поможет вам при подготовке к экзамену. В следующей статье мы рассмотрим неравенства посложнее: квадратные.
Если найдёте ошибку или опечатку, пишите в комментариях, буду благодарна.
Автор: Чудневцева Ирина, координатор и соавтор канала Хакнем Школа.
Читайте нас также в телеграм — по этой ссылке
Другие статьи автора: