— А вам зачем? Определить направление в море, или, может быть, узнать уклон дороги? Хотите найти расстояние на сфере, либо угловое расстояние между звёздами? Или вам для геометрических нужд, треугольничек построить или звезду пятиконечную? Может, вас тригонометрия интересует, синус вычислить, координату какую отыскать, или фигуру Лиссажу нарисовать даме к 8 марта? Или вы больше по физике: вращения, колебания, гармонические функции, спектры, дифференциальные уравнения, задача Штурма-Лиувилля... А топологию или группу углов изучить не желаете?
* * *
Для разных задач годятся разные меры, и какую попало выбирать не стоит. Во-первых, надо, что бы углы выражались числами (желательно, удобными — целыми или рациональными) и были пригодны для бытового использования. Во-вторых, они должны быть удобны для геометрических построений, имели внятные значения для часто встречающихся геометрических фигур. И, в-третьих, помогали нам дружить с тригонометрией и алгеброй — не одними же только циркулем и линейкой вычислять!
Обороты
Для длины абсолютной единицы не существует, выбирай, хоть аршин, хоть парсек, хоть планковскую единицу, всë едино. А вот с оборотами не так. Полный оборот — сам себе единица. Раз такое дело, самым естественным решением будет измерять углы долями оборота. Нормальный способ, именно его мы используем для измерения частоты вращения, когда пишем об/минуту или когда просим кого нибудь повернуться на четверть-оборота для фотографии.
Однако, для геометрических нужд имеет смысл оборот представить, не как единицу, а как двойку, а именно, как два развернутых угла. Преимущества этого способа могут быть заметны при измерении углов правильных многоугольников, все они будут выражаться понятными говорящими дробями. Сумма углов в треугольнике тогда будет равна 1, в n-угольнике — n − 2. Углы в квадрате: 1/4, в равностороннем треугольнике — 1/3, в пятиугольной звезде — 1/10, в пятиугольнике — 3/5. Удобно.
Грады
Однако так вышло, что законодателями мод в измерении углов были моряки и астрономы, и именно им принадлежат основные практичные угловые меры.
Мореходы и землемеры, в своё время, решили, что разделить угол между Севером и Востоком на 100 частей будет в самый раз! Так получились грады. Прямой угол — 100 град, развёрнутый — 200 град, полный оборот — 400. Кстати, при таком способе 1 град это 1% от прямого угла, можно было бы записывать углы в процентах.
Но есть у град один конструктивный недостаток: у числа 400 сравнительно немного делителей: 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 200 и среди них нет чисел, кратных трём. Так что у равностороннего треугольника получится угол в 133.33333333333... града. Для геометрии это неудобно. Да и в тригонометрии школьной всё больше встречаются трети, да шестые части окружности. Давайте поищем что-нибудь получше.
Градусы
Взглянем на то, как растёт количество делителей у чисел в первой тысяче:
Как видите, есть такие числа, которые имеют наибольшее число делителей, среди всех предыдущих. Среди них значится знакомое число 360. Так что, если вам хочется рисовать правильные многоугольники, у которых 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 и 180 вершин, имеющие целые значения углов, или заниматься астрономией, в которой угловые размеры Солнца и Луны составляют половину деления, то 360° — ваш выбор!
А если вам до зарезу нужны семиугольники, то вместо 360 делений выбирайте, например, 420. Делителей у этого числа столько же, что и у трёхсот шестидесяти, но среди них есть кратные 7. Развёрнутый угол — 210°, прямой — 105°, в правильном треугольнике — 70°, в пятиугольнике — 127°, в шестиугольнике — 140°, семиугольнике — 150°. Красота!
Часы
Делить круг на 420 частей неплохо, но мне больше нравится штурманский способ измерять угол в часах и минутах. Разделив оборот на 24 часа, а час — на 60 минут, мы получим привычное бытовое деление окружности. Число 24 относится к числам с наибольшим числом делителей в своей весовой категории. Более того, 24×60 имеет целых 34 делителя!
Так что углы во всех привычных правильных многоугольниках будут иметь вполне аккуратное выражение: треугольник — 4ʰ, квадрат — 6ʰ, пятиугольная звезда — 2ʰ24ᵐ, а пятиугольник — 7ʰ12ᵐ.
Но особенно мне нравится, как выглядит таблица тригонометрических функций, в которой аргумент выражен в часах:
Кроме привычных значений, в этой таблице можно разместить две дополнительные величины в 1 час и в 5 часов. Громоздковаты они, конечно, но это хорошие величины: они имеют алгебраическую степень равную четырём, но при этом выражаются в виде внятного сочетания корней. Таким образом, все целые часы имеют относительно неплохие значения тригонометрических функций.
Вместо 24, конечно, можно использовать 12 часов, но тогда половина прямого угла будет выражаться как 1ʰ 30ᵐ. Зато транспортир превратится в привычный для нас часовой циферблат.
Стоит ещё отметить, что в отличие от оборотов, направления образуют модулярную арифметику, то есть, не бывает направления соответствующего 25 часам. Так что 25ʰ = 1ʰ и 20ʰ + 6ʰ = 22ʰ. Ещё более явно эту особенность алгебры направлений демонстрируют румбы и азимуты.
Румбы
К любому углу можно подобраться с помощью дихотомии или методом деления пополам. Сначала выясняем в какой полуплоскости лежит нужное нам направление, потом — в какой четверти, потом — в какой из половинок четвертей и так далее. Так с незапамятных времён делили горизонт моряки, измеряя углы в румбах, разделив окружность на 2⁵ = 32 части, и дав им звучные имена, типа вест-зюйд-вест, норд-ост-тень-ост или даже стрик встока к обеднику, которые очень прикольно выкрикивать хриплым голосом, стоя на мостике.
Наконец, углы можно измерять даже в пальцах, как это делают бывалые морские и речные волки, идя "на два пальца левее Алголя".
Однако, степени двойки, не могут похвастаться большим числом делителей, у числа 32 их всего 5 и все... степени двойки. Так что, поскольку 1/6 выражается только в виде бесконечной двоичной дроби:
используя номенклатуру румбов, угол в равностороннем треугольнике придётся выражать бесконечным символом. И о тригонометрии на языке румбов говорить будет нелегко, поскольку косинусы углов, являющихся степенями двойки, кроме четверти и восьмой части оборота, вычисляются не особо изящно:
Ну, а другие румбы и того хуже!
Радианы
Все описанные выше способы деления окружности, более или менее, подходят для базовой тригонометрии и бытового использования. Но если вы решите вычислить производную от какого-нибудь синуса, то она не будет равна косинусу, покуда аргумент будет измеряться в оборотах, градах, часах или румбах. Однако, при равномерном вращении скорости изменения прямоугольных координат точки выражаются именно так: y' = x, x'= –y.
Если в качестве угловой меры взять расстояние, на которое прокатится колесо единичного радиуса, при известном повороте, то угол поворота будет измеряться в радианах, то есть, в отношениях длины дуги, стягиваемой углом, к её радиусу. При этом появится иррациональное число π, но этот значок не хуже значка ° или, например, ₽. Если вместо "пи" произносить "развёрнутый угол", то смысл угла, выраженного в радианах станет яснее. Например, угол в правильном треугольнике равен π/3, то есть трети развёрнутого угла, а у квадрата — π/2, сиречь половина развёрнутого угла. А формула Эйлера
гласит, что комплексное число −1 имеет аргумент, равный развёрнутому углу.
Несомненные выгоды от использования радиан начинаются при занятиях серьёзной тригонометрией и матанализом. В радианах синусы и косинусы решают дифференциальное уравнение:
их можно раскладывать в ряды, и использовать методы приближённых вычислений, типа sin(x) ≈ x для малых углов. С аргументом, выраженным в радианах, тригонометрия позволяет решать задачи на движение, строить теорию функций комплексного переменного и методы разложения в ряды Фурье для решения задач матфизики. Начиная с первого курса физфака или мехмата, про градусы можно забыть.
Уклоны
Наконец, можно отказаться от равномерных делений и сразу измерять углы в тангенсах. Именно этот способ используется на дорожных знаках, где уклон дороги, то есть тангенс угла, образуемого дорогой к горизонту, выражен в процентах.
Уклоны таким образом измерять удобно, и даже тригонометрию можно упростить кое-где. Например, если величина угла выражается через его тангенс рациональной дробью, то нетрудно точно посчитать его синус и косинус, не используя калькулятор:
Но есть и существенные проблемы. Уклон в равностороннем треугольнике будет равен 1/√3 ≈57.73%, а вот угол квадрата, простите, будет неопределён, ибо тангенс для прямого угла терпит разрыв. Но самое главное: углы, измеряемые таким образом, перестают быть аддитивными. Это значит, что сумма двух уклонов или, скажем, удвоение уклона будут вычисляться весьма нетривиально, особенно, с учётом разрывов.
От геометрии к алгебре
Эти ограничения можно обойти, если использовать не дробь для выражения тангенса, а пару чисел: (числитель, знаменатель). Тогда прямой угол примет безопасное "значение" (0, 1), а его половина может быть выражена, как (1,1) или (√2,√2) — это одно и тоже.
Последовательно развивая такое представление, можно прийти к теоретикогрупповому представлению об угле, как о повороте, то есть, действии на множестве точек пространства или элементов поля. Если разглядеть в упомянутых выше парах чисел комплексные числа, то алгебру углов можно определить, как мультипликативную группу комплексных чисел, факторизованную по норме (модулю). Тогда аддитивная абелева группа повротов становится изоморфна мультипликативной группе комплексных чисел. Сложению углов (композиции поворотов) соответствует умножение соответствующих комплексных чисел, а вычитанию — умножение на сопряжённое число (такой подход упомянут тут).
Если ограничиться только такими парами чисел (a, b), что a² + b² = 1, то получится полноценная алгебра, в которой повороты можно складывать таким образом: (a,b) + (c,d) = (ac − bd, ad + bc). Если все числа в парах будут рациональными, то результаты тоже окажутся парами рациональных чисел. Так можно построить группу рациональных точек окружности и рациональную тригонометрию, в которой нет корней, зато полно дробей с пугающими числами.
Наконец, окончательно абстрагировавшись от угловых мер, градусов, румбов и даже радиан, можно рассматривать углы, как топологическое пространство S¹ и унитарную группу первого порядка U(1), изоморфную группе вращений двумерного вещественного пространства SO(2). Впрочем, для прикладной геометрии такой подход, всё-таки, не очень удобен. Даже тот фундаментальный для евклидовой геометрии факт, что сумма углов в треугольнике равна развёрнутому углу, будет непросто выразить и доказать, оперируя комплексными числами или рациональными точками на окружности .
* * *
В завершении замечу, что у пёселей и енотов углы ушей и хвоста задаются не количественно, а качественно: "уши — топориком, хвост — пистолетом". Чего и вам желаю!