Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать о том, чем Вы прекрасно пользовались в средней школе - о дискриминанте.
Для кого-то, я уверен, будет культурным шоком тот факт, что дискриминант существует не только для квадратного трехчлена, а привычная всем формула - лишь частный случай более глубокого явления.
Итак, поехали!
Формула выше определяет дискриминант для многочлена f, который зависит от его степени, а также результанта самого многочлена и его производной.
При чем тут производная, можно спросить? Для многочлена f(x) естественно сформулировать такой вопрос: когда f имеет кратные корни? Алгоритмический ответ ясен.
Надо найти наибольший общий делитель многочлена f и его производной f' . Если он является многочленом не нулевой степени, то f имеет кратные корни.
А результант, как я писал в прошлом материале, предназначен для ответа на вопрос: есть ли у двух многочленов равные корни?
Итак, давайте перейдем к примеру. Вычислим дискриминант квадратного трехчлена новым для нас способом:
Записываем матрицу Сильвестра и вычисляем её определитель:
Теперь осталось подставить результант в формулу для дискриминанта и получить ответ:
Мы получили знакомую всем с детства формулу. Такие же манипуляции можно провернуть и получить, например, дискриминанты приведенных уравнений 3-ей и 4-ой степени:
Дальнейшие манипуляции с дискриминантом позволяют определить, имеет или нет произвольный многочлен корни, например, в поле вещественных чисел.
А зачем вообще нужны все эти обобщения на многочлены произвольный степеней?
Дело в том, что, например, общее определение дискриминанта используется для вычисления эквидистант - линий, равноудаленных от заданной:
Эквидистанты имеют и очевидный физический смысл. Если предположить, что каждая точка кривой является источником излучения, то эквидистанта представляет собой волновой фронт! Так что не спешите нас хоронить! Спасибо за внимание!
- Если Вам понравился данный материал, поддержите его лайком, а канал - подпиской.