Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня хочу поговорить с Вами о методе решения систем линейных уравнений, названном в честь швейцарского математика Габриэля Крамера.
Наверное, каждый, кто встречался с применением этого метода впервые, считал его какой-то особенной "магией". Однако, всё на самом деле намного проще, и я сейчас покажу вывод формул Крамера на примере максимально простой системы уравнений. Поехали!
Итак, требуется найти решения следующей системы уравнений:
Решать такие вещи мы умеем неплохо методом исключения неизвестных, но нам сейчас нужен общий вид:
Всё просто: выражаем, подставляем и получаем выражение для х:
Отлично! Подставлять полученное х во второе уравнение - не самая лучшая идея (просто не хочется скакать с дробями). Поэтому возвращаемся в начало шага 1 и исключаем другую переменную:
Ну что же, мы получили решение системы уравнений в общем виде. Давайте теперь внимательно посмотрим на оба выражениях для неизвестных и найдем общее:
Батюшки! Да у нас же одинаковые знаменатели! Так вот, число, которое получается в знаменателе и записывается в удобном "табличном" виде и называется определителем системы линейных уравнений.
А что же в числителях? А те же самые определители (по сути разность произведений), только полученные заменой столбцов:
Вот и всё решение! Оказывается, что метод Крамера с использованием определителей - это всего лишь удобный и формализованный способ записи обычного решения системы линейных уравнений.
Сказанное верно для любой системы n уравнений с n переменными. Разве что определители там посложнее.
Осталось заметить, что для СЛАУ имеют место три ситуации:
- Одно решение;
- Нет решений;
- Бесконечное число решений.
В этой ситуации метод Крамера справляется блестяще:
Конечно, определили в линейной алгебре - это намного более глубокое понятие, чем показанная мною выше разность произведений. Однако, мне кажется некую "завесу таинственности" с него я снял.
- Если Вам понравился материал, поддержите его лайком.