Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Уже древние греки прекрасно знали, что уравнения второй степени не могут задавать на плоскости никаких гладких кривых кроме эллипса, параболы и гиперболы (если не брать вырожденные случаи, когда такие уравнения задают точку, прямую и пару параллельных прямых).
Наиболее полным математическим изданием тех времен, в котором и исследовались данные понятия является "Конические сечения", принадлежавшие древнегреческому математику Аполлонию Пергскому, жившему в третьем веке до нашей эры.
Именно благодаря этому заслуженному греку мы пользуемся терминами асимптота, абсцисса, ордината, аппликата. В честь него также названа одна из красивейших геометрических задач, т.н. "задача Аполлония", в которой требуется построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трёх данных окружностей.
В своём замечательном труде Аполлоний математически строго обосновывает, что эллипс, парабола и гипербола - порождение всего лишь одной геометрической фигуры - кругового конуса.
Возьмем конус и секущую плоскость и посмотрим на их возможное взаиморасположение.
Положение № 1. Эллипс
Представьте, что наша секущая плоскость параллельна плоскости, содержащей основание конуса, а затем начинайте "опускать" один из её краев вниз, положив на него виртуальную гирю. Получившаяся таким сечением фигура называется эллипсом.
Данное сечение пересекает ВСЕ образующие конуса и является замкнутым - это ключевое отличие от следующих вариантов. Становится понятно, почему окружность не рассматривается отдельно. Если хотите, окружность - это вырожденный случай эллипса, топологически не отличимый от него.
Положение № 2. Парабола
Начинаем всё сильнее давить на один из краев секущей плоскости до того момента, как она не станет параллельна одной из образующих (линия пересечения уйдет на бесконечность). Поздравляю, мы получили параболу - топологически отличную от эллипса незамкнутую кривую второго порядка.
Положение № 3. Гипербола
Что-то мы до сих пор игнорировали верхнее отражение конуса: да и на самом деле могли бы продолжать это делать. Однако без него нам было бы сложнее понять отличие параболы от гиперболы - конического сечения, возникающего в момент, когда секущая плоскость становится параллельной оси конуса.
Все же привыкли представлять гиперболу как график функции y=1/x с разрывом по оси ординат ?
Эллипс, гиперболу и параболу (они же могут называться одним термином - "квадрики") легко можно увидеть, взяв обычный фонарик:
Построения, выполненные таким образом, буквально "на пальцах" - это, конечно, хорошо. Но мы забыли один важный момент - а с какой это стати полученные нами фигуры действительно являются эллипсами, параболами и гиперболами ?
Ведь в статье не было приведено ни одного доказательства, например, того факта, что фигура, получившаяся при первом сечение - это суть геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до других двух точек (фокусов) постоянна, т.е. эллипс?
Пока что поверьте на слово, а в следующих материалах я расскажу Вас про сферы Данделена - наиболее изящный инструмент, который разрушит все эти сомнения. Спасибо за внимание!