Для школьников.
Задача.
Даны уравнения одинаково направленных колебаний материальной точки:
Надо получить уравнение результирующего колебания точки.
Решение. Из уравнений видно, что складываемые колебания имеют одинаковую частоту, равную 5 рад/с.
Амплитуда результирующего колебания (см. рис 25):
Находим начальную фазу результирующего колебания точки:
отсюда
Тогда уравнение результирующего колебания имеет вид:
Таким образом, если материальная точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты и одного направления, то её результирующее колебание тоже будет гармоническим с той же частотой.
Если же материальная точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одного направления, но частоты этих колебаний разные, то результирующее колебание уже не будет гармоническим (синусоидальным). Покажем это на рисунке.
Здесь пунктирными линиями показаны графики двух гармонических колебаний разных частот, в которых участвует материальная точка (горизонтальная линия соответствует её положению равновесия).
Алгебраическое сложение смещений в каждом из двух колебаний (в данный момент времени) даёт результирующее смещение материальной точки от её положения равновесия (АD = АВ + АС).
По полученным в результате сложения точкам построен график суммарного колебания материальной точки (сплошная линия), форма которой не является синусоидой.
Сплошная линия на рисунке есть график негармонического периодического суммарного колебания (его ещё называют формой периодического колебания или просто формой).
Период суммарного колебания (формы) равен периоду гармонического колебания с наиболее низкой частотой, называемой основной частотой (см. рисунок).
Определённой частоты у суммарного колебания нет.
Теперь рассудим наоборот. Пусть известна форма, т. е. график колебаний материальной точки (сплошная линия на рисунке).
Это сложное периодическое колебание (форму) можно разложить на набор гармонических колебаний (в рассматриваемом случае их два). В других случаях этот набор может включать в себя много гармонических колебаний (гармоник).
В этом заключается смысл теоремы Фурье: всякое периодическое колебание периода Т может быть представлено в виде суммы гармонических колебаний с периодами, равными T, Т/2, Т/3, Т/4 и т. д., т. е. с частотами, равными 1/Т, 2/Т, 3/Т, 4/Т и т. д.
Каждое из набора колебаний имеет определённую частоту.
Самая низкая (малая) частота называется основной частотой.
Частоты других гармонических колебаний (гармоник), на которые разложили периодическое сложное колебание (форму), в 2, 3, 4 и т. д. раз больше основной частоты.
Они называются второй, третьей, четвёртой и т. д. гармониками (высшими гармониками).
Такое действие - разложение сложного периодического колебания (формы) в гармонический ряд (на гармонические колебания) часто бывает нужно на практике и называется оно гармоническим анализом.
Гармонический анализ позволяет детально описать и проанализировать любой колебательный процесс.
С периодическими колебаниями (формами) мы встретимся ещё при рассмотрении звуковых колебаний.
Если частоты складываемых гармонических колебаний одного направления близки друг другу, то получается интересная картина.
Итак, нами рассмотрены примеры сложения гармонических колебаний. Говоря о сложении гармонических колебаний одного направления, но разных частот, приходим к выводу, что результирующее колебание (форма) уже не является гармоническим, но является периодическим. И ещё приходим к заключению, что любое сложное колебание можно разложить на совокупность гармонических колебаний (гармоник). Этим разложением, называемым гармоническим анализом, широко пользуются на практике.
К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Пишите комментарии. Спасибо.
Предыдущая запись: Пример нахождения характеристик гармонического колебания материальной точки.
Следующая запись: Затухающие колебания.
Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1 .
Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45 .
Ссылки на занятия (статьи), начиная с теплового действия тока, даны в конце Занятия 5 8.
Ссылки на занятия, начиная с переменного тока, даны в конце Занятия 70 .