Координаты Шварцшильда прекрасно описывают пространство-время вне шара с радиальным распределением плотности. По сути это просто сферические координаты. Гравитирующему шару соответствует гравитационный радиус, он же радиус Шварцшильда, через который удобно выражать замедление времени, вторую космическую скорость и многое другое. Численно он равен 2m: удвоенной массе шара в системе единиц, в которой скорость света и гравитационная постоянная равны единице. Если радиус шара больше гравитационного, проблем не возникает: ведь по условию решение Шварцшильда рассматривается вне шара.
Шварцшильд получил решение и для внутренности шара. И как мы помним, добраться до гравитационного радиуса невозможно: "снимая" слои, мы его уменьшаем.
Но для черных дыр возникает проблема: помимо "истинной" сингулярности в центре есть еще и разрыв метрики на сфере, радиус которой равен гравитационному. Это горизонт событий.
С другой стороны, свободно падающему наблюдателю должно быть все равно, он же инерциальный: он не должен терпеть какие-то неудобства на горизонте.
Наиболее простые координаты без особенности на горизонте предложил Леметр, более известный своими космологическими изысканиями. А предложил он посмотреть на пространство-время с точки зрения именно что падающих наблюдателей. Строго говоря, не любых, а имеющих на бесконечности нулевую скорость. То есть, "просто падающих", без какой-либо скорости помимо набранной в ходе падения.
Время T будем отсчитывать свободно падающими часами. В один момент T=0 часы имели координату r=q, которая потом уменьшалась (они же падают): вот это число q будет у нас идентификатором часов: так их можно отличать друг от друга. Его же можно принять за радиальную координату: положение точки по отношению к центру шара можно описать теми часами, вблизи которых точка находится. То есть в каждой точке пространства надо вообразить падающие часы.
Впрочем, удобнее другая координата:
Тогда линии r=const в новых координатах будут прямыми.
Если опустить угловые координаты для краткости, то метрика выглядит в новых координатах так:
Почему такая метрика? Это довольно сложно, отсылаю к книге Новикова [1], но понять принципы можно. Собственное время падения до горизонта (и даже до сингулярности) конечно и может быть вычислено в координатах Шварцшильда. Надо взять интеграл вдоль мировой линии от ее длины |dτ| от одного значения r до другого. Это делается, и получается та самая степень 3/2.
Все компоненты метрики не имеют особенностей на горизонте.
Связь между координатами такая:
Для t выражение более сложное, и в него тоже входят и R, и T:
Из первого соотношения получаем уравнение горизонта событий:
2m=1.5(R-T).
У Шварцшильда горизонт был неподвижен, r=2m. Здесь меняется, R зависит от T поскольку рассматривается с точки зрения падающих наблюдателей. Но, как видим, зависимость линейная, но это благодаря выбору координаты R; в исходной координате q
Второе соотношение (для t) показывает, что когда r достигает горизонта, то есть r=2m, то t уходит на бесконечность. При этом собственное время конечно. Мы это обсудили в заметке про Сильвера, космического пирата. Интересен и характер роста: логарифмический. Логарифм растет, конечно, до бесконечности, но медленно. Очень медленно. Если привести логарифм к десятичному, то рост, скажем, в тысячу раз увеличит сам логарифм на три единицы всего.
Координаты Леметра позволяют измерять расстояния и интервалы времени в большей области, нежели координаты Шварцшильда. Однако это не меняет свойств области внутри горизонта: световой конус там направлен внутрь, и поэтому никак невозможно отдаляться от центральной сингулярности. Направление к центру времени-подобно, то есть движение к сингулярности внутри черной дыры — это как движение в будущее. И так же неостановимо.
Выбраться даже не из-под горизонта, а даже приблизиться к нему изнутри — так же сложно, как приблизиться к вчерашнему дню. Можно, разогнавшись, замедлить время, медленнее отдаляясь от вчера, но никак нельзя даже приблизиться. Так и там: можно медленнее отдаляться, но не отдаляться — нельзя.
Почему конус направлен внутрь? Посмотрите еще раз на выражение для метрики и у уравнение горизонта. Если r<2m, то есть мы внутри, то
2m>1.5(R-T).
Тогда знаменатель в выражении при dR² меньше единицы, то есть
ds² < dT² - dR².
Это означает, что даже при движении с единичной скоростью (со скоростью света), когда dR=dT, получается отрицательный ds², что в наших обозначениях отвечает пространственно-подобному отрезку. А двигаться можно только по времени-подобным. Ускоренные движения описываются времени-подобными кривыми, так что даже ускорения, какими бы большими они не были, из черной дыры вывести не способны.
[1] Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика Черных дыр. 1986.