Для школьников.
Продолжаем рассматривать механические колебания.
Ранее говорилось, если колебательная система выведена из положения равновесия и если сопротивлением среды колебаниям можно пренебречь, то колебательная система (математический маятник, пружинный маятник и т. д.) будет совершать свободные незатухающие колебания.
Их называют ещё собственными, синусоидальными, гармоническими. Графически такие колебания изображаются синусоидой.
Если силы сопротивления среды велики (например, колебания происходят в воде, масле и т. д.), то со временем амплитуда колебаний уменьшается. Такие колебания называются затухающими.
Сейчас рассмотрим случай, когда на колебательную систему, кроме силы сопротивления среды, действует внешняя сила, меняющаяся по гармоническому закону:
Возникшие при этом колебания называются вынужденными.
Здесь
есть амплитуда внешней (вынуждающей) силы, а
есть круговая частота колебаний вынуждающей силы.
Вынужденные колебания можно получить, например, с помощью показанной ниже установки.
Пружинный маятник через нить подвешен в точке небольшого изгиба стержня, который с помощью ручки может вращаться в подшипниках. Длина нити много больше изгиба стержня.
При равномерном вращении ручки (с постоянной круговой частотой) на пружинный маятник будет действовать гармоническая сила той же частоты:
Зададимся вопросом: как при этом будет двигаться груз на пружине?
Прежде надо сказать, что груз с пружиной (пружинный маятник), как и любая колебательная система, имеет собственную частоту колебаний
которая зависит только от свойств самой колебательной системы (массы, упругих свойств, размеров и т. д.).
(Почти у любого тела и любой конструкции есть её собственные колебания, часто они очень сложны. У сложного механического тела может быть много собственных колебаний, а значит и собственных частот).
Вернёмся к нашему пружинному маятнику.
Вынуждающая гармоническая сила, действующая на маятник при вращении стержня, будет навязывать маятнику свою частоту. заставляя пружинный маятник совершать вынужденные колебания.
Сначала груз совершает сложные движения, но через несколько оборотов ручки груз начинает совершать правильные (установившиеся) периодические колебания:
Переход к установившимся колебаниям объясняется тем, что в начале действия внешней силы F груз одновременно участвует и в свободных колебаниях с собственной частотой, и в вынужденных колебаниях.
Свободные колебания затухают, так как сила F поддерживает только вынужденные колебания.
Когда свободные колебания груза затухнут, устанавливаются вынужденные колебания. Время установления вынужденных колебаний равно времени затухания свободных колебаний груза.
Уравнение установившихся вынужденных колебаний имеет вид:
Частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы.
Амплитуда вынужденных колебаний А прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания
и круговых частот собственного и вынужденного колебаний:
m - масса груза.
Амплитуда установившихся вынужденных колебаний (при данной частоте вынуждающей силы) даже в присутствии сопротивления среды не изменяется.
Объясняется это тем, что энергия, затраченная на преодоление сопротивления среды, непрерывно восполняется за счёт работы вынуждающей силы.
Опыт показывает, что амплитуда установившихся колебаний существенно зависит от частоты вынуждающей силы (частоты вращения стержня).
Когда частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте пружинного маятника
амплитуда колебаний резко возрастает, достигая максимума при равенстве этих частот.
Это явление называется резонансом.
Почему при равенстве частот вынуждающей силы и собственной частоты колебательной системы амплитуда колебаний резко возрастает?
Объясняется это тем, что при этом условии сила упругости колебательной системы и вынуждающая сила действуют в одном направлении (их действия усиливаются). Тогда даже при малой величине вынуждающей силы амплитуда колебаний растёт.
Амплитуда при резонансе достигает особенно большой величины и резко выражена (острый резонанс), если сопротивление среды мало (если в нашем примере маятник колеблется в воздухе).
Если затухание среды большое (маятник колеблется в воде или масле), то резонансные явления получаются слабыми (амплитуды при резонансе не очень сильно отличаются от амплитуд при других частотах вынуждающей силы). Такой резонанс называется тупым резонансом.
На рисунке ниже показаны так называемые резонансные кривые - кривые зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.
Верхняя резонансная кривая соответствует малому сопротивлению среды (колебания происходят в воздухе).
Нижняя кривая соответствует большому сопротивлению среды (колебания происходят в воде или масле).
Показанные на рисунке резонансные кривые говорят о том. что при всякой частоте силы, амплитуды вынужденных колебаний тем больше, чем меньше затухание.
Из рисунка также видно, что максимум нижней кривой несколько сдвинут влево от максимума верхней кривой, то есть соответствует немного меньшей частоте вынуждающей силы. Это связано с увеличением периода свободных колебаний при возрастании затухания.
Резонанс играет очень большую роль в разных явлениях - в одних случаях вредную, в других - полезную.
Наглядный пример на резонанс.
Представим, что человек переходит ров по доске. Доска с человеком имеет собственную частоту колебаний. Шагая по доске с такой же частотой, человек попадает в резонанс - доска начинает сильно колебаться (изгибаться вверх - вниз).
По этой же причине нельзя поездам переезжать мосты на скорости, когда период ударов колёс о стыки рельсов может совпасть с периодом свободных колебаний моста. Поэтому поезда переезжают мосты медленно или, наоборот, на максимальной скорости.
Были случаи, когда рушился мост, по которому в ногу шла большая группа солдат. Отталкиваясь от моста с частотой его собственных колебаний, они раскачивали его, и мост разрушался.
Ещё пример. Если двигатель недостаточно отцентрирован или его вал содержит прогиб, то при работе такого двигателя возникает периодическая сила. Если частота этой силы совпадает с собственной частотой фундамента, то фундамент может разрушиться.
Резонанс полезен, например, когда с помощью малой силы можно сильно увеличить амплитуду вынужденных колебаний.
Так, можно раскачать язык большого колокола малой силой, если натягивать верёвку с периодом свободных колебаний языка колокола.
Другой пример полезного использования явления резонанса. На явлении резонанса основана работа частотомера - прибора предназначенного для измерения частоты переменного тока.
Принцип работы прибора заключается в следующем.
Прибор состоит из набора упругих пластинок с грузиками на концах (язычков). Массы грузиков и упругость пластинок подобраны так, чтобы собственные частоты соседних язычков отличались, например, на 0,5 Гц.
Электромагнит прибора состоит из обмоток, намотанных на магнитопровод, составленный из листов ферромагнитного материала, и якоря. Якорь представляет собой подвижную часть магнитопровода, отделённого от его неподвижной части воздушным промежутком.
При пропускании через обмотки переменного тока возникающее физическое усилие через колебания якоря передаются планке, укреплённой на гибких пластинках.
На каждый из язычков, связанных с планкой, действует гармоническая сила, частота которой равна частоте тока. Язычок, попавший в резонанс с этой силой, колеблется с большей амплитудой и показывает на шкале прибора частоту тока.
Возвращаемся к теории.
Мы говорили о гармонической силе, действующей на колебательную систему, но резонанс может наступить и при действии на колебательную систему периодической силы (не являющейся гармонической).
Например, можно периодически толкать качели, когда период толчков равен периоду собственных колебаний качели.
Но резонанс наступает и в том случае, если толкать качели, пропуская её одно качание, два качания и т. д., то есть раскачать качели можно не только толчками с периодом, равным периоду качели, но вдвое реже, втрое реже и т. д.
Это говорит о том, что негармоническое периодическое воздействие с периодом Т на качели равносильно одновременному действию гармонических сил с разными частотами, кратными наиболее низкой (основной) частоте (см. статью " Сложение гармонических колебаний" и увидите аналогию).
В этом суть теоремы Фурье, позволяющей любую физическую величину (смещение, силу и т. д.) представлять в виде суммы этих величин, меняющихся по синусоидальному (гармоническому) закону.
Качели будут раскачиваться, когда в резонанс с собственными колебаниями качелей действует первый обертон силы, второй обертон силы и т. д.
Таким образом, периодическая негармоническая сила сильно раскачивает качели тогда, когда в резонанс с собственной частотой качелей (колебательной системы) попадает какое-либо из гармонических колебаний, входящих в состав силы.
Итак, добиться резонанса (резкого возрастания амплитуды колебаний колебательной системы) можно не только действуя на неё гармонической силой, но и действуя на неё периодической негармонической силой.
К.В. Рулёва, к. ф.-м. н., доцент. Подписывайтесь на канал. Ставьте лайки. Пишите комментарии. Спасибо.
Предыдущая запись: Затухающие колебания.
Следующая запись: Звуковые колебания. Тембр звука. Акустический резонанс.
Ссылки на занятия до электростатики даны в Занятии 1 .
Ссылки на занятия (статьи), начиная с электростатики, даны в конце Занятия 45 .
Ссылки на занятия (статьи), начиная с теплового действия тока, даны в конце Занятия 58.
Ссылки на занятия, начиная с переменного тока, даны в конце Занятия 70 .
