Речь идет вот об этой формуле: 1+U/c²: она выражает замедление времени в (слабом) поле с потенциалом U. Давайте посмотрим, как получается эта формула. В слабом поле — то есть в таком, в котором хорошо работает ньютоновское приближение и есть потенциал. Как я уже объяснял, замедление времени связано именно с ним; если формально и можно объяснить инерционные эффекты фиктивной гравитацией по принципу эквивалентности, то замедление времени в таком поле определяется фиктивным потенциалом — а он с ускорением связан весьма слабо. Ускорением может быть большим, а потенциал — малым, и наоборот.
Можно пойти напролом и выписать метрику:
dτ² = Tdt² - dr²/с²,
где r — метрика в пространстве, а T — какая-то положительная функция всех четырех координат. Мы приняли скорость света с за единицу, но все равно ее написали. С учетом, что τ — собственное время (время по часам движущегося наблюдателя), именно T и определяет замедление времени (если T<1, конечно). В слабом поле искривление пространства обычно мало (там с² множитель — это много) и играет роль только замедление времени. Например, у Шварцшильда T=1-2m/r, где m — масса гравитирующего тела в системе единиц, в которой c=1 и G=1. Предполагается, что r>2m (это гравитационный радиус) и, как видим, 0<T<1.
В слабом поле и при малых (сравнительно со скоростью света) скоростях именно T играет роль потенциала. Причину мы обсудим детально в отдельной заметке, но если вкратце: 4-ускорение задают уравнения геодезических
Слева стоит то самое 4-ускорение, а справа — квадратичная комбинация из компонент вектора 4-скорости.
Если обычная 3-скорость мала по величине, то роль играет только нулевая компонента, которая близка к единице.
Так что в правой части доминирует одно слагаемое: то, которое при r=s=0, и останется одна Γ с ноликами внизу.
Эти величины — символы Кристоффеля — содержат производные от метрики по координатам:
В слабом поле метрический тензор слабо отличается от плоского, у которого на диагонали стоят 1 и три -1 (точнее, там 1/с², но у нас с=1), а остальное — нули. Тензор вне скобок можно заменить на этот плоский. Поскольку нас интересуют только i>0 (пространственные компоненты ускорения), этот тензор можно заменить знаком минус.
Далее, нас интересует случай r=s=0. В этом случае первые две производные в скобках — по времени (нулевая координата). В случае стационарной метрики это нули: ведь она от времени не зависит. Если метрика меняется, но медленно — можно считать малой и пренебречь. Получается, что ускорение пропорционально градиенту как раз g с индексами 00, а это и есть T, и именно она играет роль потенциала. То есть потенциал отвечает за замедление времени.
Вот и получается, что замедление времени связано с потенциалом, роль которого исполняет именно временнàя компонента T метрического тензора.
Теперь попроще. Пусть система отсчета ускорена, ускорение постоянно и равно g. Тогда пройденный за время t путь h равен gt²/2, откуда t²=2h/g, а квадрат скорости v²=(gt)²=2gh. Потенциалом φ фиктивного гравитационного поля с ускорением свободного падения g является gh.
Теперь запишем множитель Лоренца γ, который и показывает, как замедлено время в подвижной системе отсчета:
γ = 1/√(1-v²) ≈ 1/(1-v²/2) ≈ 1+v²/2 = 1+gh = 1+φ.
Осталось заметить, что в ОТО свободно падающая система отсчета инерциальна, то есть как бы "неподвижна". Лежащая на столе относительно нее — ускорена. И именно у нее замедляются все часы независимо от конструкции: то есть, само время.
Таким образом, за замедление времени отвечает именно потенциал. В принципе, можно применять более точную формулу, в которой потенциал под корнем в знаменателе.
Удачи, коллеги.