Сегодня мы выведем одну полезную формулу, которая нам пригодится в следующей заметке, и разберем один связанный с нею парадокс.
Как всегда, скорость света принимаем за единицу для простоты; считайте, что единица длины у нас световая секунда.
Про силу в релятивистике у нас уже был материал. Сейчас сосредоточимся на одной формуле, а именно на втором законе Ньютона: производная импульса по времени равна силе. Импульс релятивистский: p=γmv. Здесь m - масса покоя, v - вектор скорости, v =|v|, γ - множитель Лоренца: γ²(1-v²)=1.
Если масса не меняется, то производная содержит два слагаемых: p'=mγv'+mvγ'. Рассмотрим второе слагаемое:
mvγ'=mvγ³(vv')
Подробности на вставке.
Второй закон Ньютона, как мы уже обсудили, имеет вид p'=f. То есть,
mγv'+mvγ³(vv')=f или mγv'=f - mvγ³(vv').
Домножим это на вектор v слева и справа:
mγ(vv')=fv - mv²γ³(vv'),
то есть
mγ(1+v²γ²)(vv')=fv,
или, с учетом определения γ,
mγ³(vv')=fv.
И подставим:
mv'=(f - (fv)v)/γ.
С учетом определения γ, можно записать второй закон в такой форме:
Формулу эту прошу запомнить: она нам скоро пригодится.
Теперь сразу видно несколько важных выводов:
- Ускорение при релятивистских скоростях сколь угодно мало и стремится к нулю: скорость света недостижима.
- Вектор ускорения направлен не туда, куда сила — в общем случае.
- Если сила и скорость перпендикулярны, то "туда", но с лоренцевой поправкой: mv'=f√(1-v²). Потому что скалярное произведение fv=0.
- Если сила и скорость коллинеарны, f=av то тоже "туда", но поправка будет кубическая: mv'=f√(1-v²)³
Можно перенести γ в левую часть и воспользоваться формулой для энергии: E=γm. Получим
Ev'=f - (fv)v.
Отсюда видно, что именно энергия является мерой инертности тела: чем она больше, тем труднее тело разогнать.
Теперь парадокс. Приняв релятивистскую "массу", растущую с ростом скорости, запишем закон Ньютона в таком (неправильном) виде:
γmv'=f.
Теперь считаем силу постоянной и направленной параллельно скорости, и решим дифференциальное уравнение
Слева табличный интеграл, и получаем arcsin(v)=ft+C, v=sin(ft+C). Константу С найдем из условия, что скорость в начальный момент времени равна нулю: v(0)=0, C=0. Получаем v=sin(ft). Скорость спокойно достигает значения "единица" (а это скорость света) за время π/(2f). А потом будет убывать, что тоже забавно: сила действует туда же, куда и скорость, а точка тормозит, останавливается и потом разгоняется в противоположную сторону.
В чем же ошибка? Изначально неверно записан закон Ньютона! А нечего было вводить лукавую и сбивающую с толку релятивистскую массу. При коллинеарных скорости и силе закон этот выглядит так:
mv'=f√(1-v²)³.
Соответственно, и интеграл теперь будет
Сделаем замену v=sin(s):
Этот интеграл тоже табличный: mtg(s)=ft+C. Константу опять положим равной нулю. Теперь прикинем, при каком t скорость обратится в единицу, и обратится ли. При этом новая переменная s должна достичь значения π/2. Но тогда левая часть стремится к бесконечности: значит, не достигнет. Теперь всё правильно.
А трудно ли этот довольно богатый интегралами и дифурами фрагмент "продать" простакам, как математически строгое доказательство противоречивости ТО? Даже релятивистская масса присутствует (можно дать ссылки на старые труды, в которых ее применяли, или на популярные ресурсы, где ее до сих пор всуе поминают).
Но всё просто, на самом деле.