Напомню, что в первой части статьи главным мотивом в обсуждении пространства является симметрия. Тот же мотив остается ведущим и здесь.
Задача о поиске свойств гипотетической ячейки пространства тесно связана с задачей о плотной упаковке равных сфер.
Почему в качестве отправной точки в рассуждениях о квантовании пространства берется сфера - довольно очевидно: сфера является самым симметричным объектом в любой метрике, с какой стороны ни посмотри.
Казалось бы, раз уже доказано, что самыми плотными упаковками являются два вида послойных упаковок, то зачем снова обсуждать этот вопрос? Поскольку нас интересует не только степень плотности упаковки, но и степень симметрии структуры, то здесь требуется дополнительное исследование, поскольку послойные упаковки имеют выделенные направления, например, направление перпендикуляра к плоскости слоя.
Для однородности и изотропности пространства, как базиса Вселенной, такое "избранное" направление недопустимо. Если мы хотим "расквантовать" пространство, мы должны искать однородную и изотропную структуру ячеек.
Также стоит отметить, что в задаче о плотной упаковке равных сфер речь идет о заполнении бесконечной области пространства (или очень большой по сравнению с размером сфер). Мы же рассмотрим задачу, начиная с "квантового" уровня - с масштаба единичных сфер.
Итак, начнем с упаковки двух сфер радиуса r. Очевидно, нужно просто сблизить сферы до касания. Ничего плотнее придумать нельзя:
Добавим третью сферу. Вопросов опять не возникает:
Добавляем 4-ю сферу, и снова никаких проблем:
Добавление 5-й сферы уже вызывает вопросы. Наиболее очевидным кажется вариант октаэдра (на рисунке красным показана добавленная пятая сфера, синим - противоположная ей сфера):
Если принять радиус сфер за единицу, то расстояния между центрами сфер A, B, C, D, E будут такими:
АВ = AC = AD = AE = BC = BD = BE = CD = CE = 2,
DE = 3,266
Очевидно, что при таком варианте упаковки возникает выделенное направление (от красной к синей сфере), что снижает степень симметрии системы. Поэтому здесь остановимся для рассмотрения вопроса с точки зрения симметрии. То есть поставим во главу угла симметрию, а плотность структуры сдвинем на второй план.
Для достижения максимальной симметрии следовало бы поискать такое взаимное расположение сфер, при котором все сферы находились бы в абсолютно равноправном положении, то есть расстояние между центрами хотелось бы сделать равным для всех сфер. Однако, это невозможно, поскольку в природе нет многогранника с пятью вершинами, которые все бы находились на равном расстоянии друг от друга.
И тут мы сталкиваемся с тем, что физики называют неравновесным состоянием. И что самое интересное, равновесное состояние в принципе невозможно. Здесь мы наблюдаем ситуацию, которая характерна для квантовой механики: нельзя предсказать наверняка, какое состояние выберет система, поскольку есть выбор из бесконечного числа принципиально равноправных состояний. Например, мы можем слегка раздвинуть серые сферы, а цветные за счет этого слегка сблизить так, чтобы расстояние между любой парой серых сфер стало равным расстоянию между цветными сферами. Но и в этом случае симметрия будет нарушена так как расстояние между любой цветной и любой серой сферами будет отличаться от расстояния между любыми двумя серыми или между цветными сферами. Можно показать, что в этом случае будет:
AD = AE = BD = BE = CD = CE = 2
АВ = AC = BC = DE = 2,619
Таким образом, начиная с пятого элемента наблюдается неравновесная, то есть неустойчивая симметрия при формировании пространственных ячеек.
Ниже представлен вариант размещения для 7 сфер (для 6 сфер ситуация совсем неравновесная, ее пока опустим). На рисунке красным обозначена сфера, которая "почти замыкает круг" в слое серых сфер, но, увы... "Почти" не считается:
Если рассмотреть 13 сфер, то получим примерно такую картину:
Здесь мы видим тоже "потрескавшийся" правильный многогранник - икосаэдр, и, следовательно, почти симметричную, но неустойчивую структуру из одной центральной (синяя) и 12 оболочечных (красные) сфер.
Все это наводит на мысль, что если предположить, что пространство имеет квантовую, то есть дискретную природу, то на квантовом уровне оно в принципе неустойчиво.
И, забегая вперед, кое-что об этой природе уже можно сказать.
Первое. Если пространство дискретно, то его элементарные ячейки стремятся к равновесной структуре, близкой к структуре икосаэдра.
Второе. Сами элементарные ячейки стремятся к форме додекаэдра с 12 гранями, поскольку при равномерном распределении должны иметь по 12 непосредственных соседей.
Третье. И самое, на мой взгляд, интересное и обнадеживающее. Все эти пространственно-квантовые структуры оказываются принципиально неустойчивыми, склонными к спонтанному нарушению локальной симметрии. Ведь если бы существовала равновесная структура пространства, то не было бы повода для движения. Если бы пространство было двухмерным, то существовала бы вполне устойчивая, однозначная равновесная структура в виде шестиугольных пчелиных сот с узлами (центрами ячеек) в вершинах равносторонних треугольников. Такая структура статична и жестко сопротивляется флуктуациям локальной симметрии, то есть в ней практически исключены локальные деформации, что означает невозможность искривления двухмерного пространства.
Наверное, не случайно Вселенная трехмерна. Ведь третье измерение дарит природе возможность выбора на самом фундаментальном уровне - на уровне формирования элементарных ячеек самого пространства. Это свойство может лежать в основе искривления пространства и, следовательно, возникновения гравитации в трехмерном мире.
