Сегодня рассмотрим один весьма общий приближенный метод решения уравнений Эйнштейна для гравитационного поля.
Задача ОТО: по данному распределению тензора энергии-импульса (к которому предъявляются некоторые требования, но он достаточно произволен) определить метрический тензор. Обычно это делается в каких-либо координатах. А уж через него можно записать метрику (выражение для интервала), замедление времени, получить уравнения геодезических и, решив их, вычислить орбиты пробных тел... и так далее.
Левая часть уравнения Эйнштейна и зависит от метрического тензора g (с индексами). Но проблема в том, что зависимость нелинейная, сложная, и простой формулы, позволяющей выразить метрику через тензор энергии-импульса, не существует.
Однако можно сильно упростить задачу, предполагая гравитационное поле слабым. Это довольно необременительно, поскольку поле Земли на ее поверхности и поле Солнца в районе планет сравнительно слабы: приближение работает. В этом случае помогает линеаризация.
Линеаризация — это замена нелинейных соотношений линейными приближениями. Так, не слишком большой кусок Земной поверхности можно считать плоским. Или, если скорость размножения планктона выражается формулой an(1-n/b), где a — фертильность, b — емкость среды, а n — число клеток, то можно довольно точно приблизить динамику линейной формулой an при малой численности и ab(1-n) при близкой к предельной.
Тензор кривизны, из которого "сконструирована" левая часть уравнения Эйнштейна, описывает различие между повторным дифференцированием в разном порядке; или, если понятнее, разницу между "шаг влево и потом вперед" и "шаг вперед и потом влево". Поэтому там стоят всевозможные вторые производные от метрики. После линеаризации получается выражение, очень похожее на оператор Лапласа: сумма повторных производных. Только производная по времени со знаком минус.
Метрический тензор представляется в виде суммы двух: "плоского", для пространства Минковского (это диагональная матрица, на диагонали стоят числа 1 и три "минус единицы", и описывает метрику
dτ²=dt²-dx²-dy²-dz². Скорость света у нас принята за единицу) и некоторого малого тензора h (с индексами). В итоге уравнение Эйнштейна переписывается в таком виде:
Здесь δ с индексами внизу — "плоский" метрический тензор, с индексами вверху — обратный к нему (но это он сам, потому что он сам к себе обратный), один индекс сверху, другой снизу — единичный тензор; h с индексами внизу — добавка к метрическому тензору; поднятие одного индекса осуществляется сверткой с δ (с индексами вверху, хотя в данном случае это неважно): по сути, просто умножение на матрицу; h без индексов — это след полученной матрицы (сумма элементов на диагонали). Справа Т с индексами — тензор энергии-импульса с поднятым тем же способом индексом.
Соглашение о суммировании гласит, что если в выражении один индекс снизу и один сверху одинаковы, то по этим индексам производится суммирование. Для симметричных тензоров с одним повторяющимся индексом это просто умножение матриц. Если оба индекса повторяются, то у полученной матрицы надо сложить элементы с совпадающими индексами, то есть диагональные.
Пусть тензор h с индексами имеет на диагонали числа a, b, c, d. Тогда смешанный тензор (с поднятым индексом) имеет на диагонали числа -a, b, c, d. А число h равно b+c+d-a.
Следовательно, тензор в левой части в скобках имеет на диагонали числа
-(a+b+c+d)/2, (a+b-c-d)/2, (a-b+c-d)/2, (a-b-c+d)/2.
Его внедиагональные элементы пропорциональны внедиагональным элементам тензора Т.
Такое уравнение, похожее на уравнение Пуассона, имеет решение. Как оно получается, я расскажу в отдельной заметке, а сейчас просто выпишем это решение (его можно проверить непосредственно):
Здесь интеграл берется по всему пространству. Величина r — это расстояние от точки, в которой вычисляется левая часть, до точки интегрирования. Квадратные скобки означают задержку: тензор T, который может зависеть от времени, берется не в момент t левой части, а в более ранний момент t-r (скорость света принята за единицу!).
Итак, если тензор энергии-импульса диагональный, то и тензор h тоже диагональный, а если нет, то внедиагональные элементы вычисляются напрямую. Диагональные же перепутаны, но эту систему уравнений для a, b, c, d можно решить.
Этот общий метод получения решений годится в самых разных случаях. Да, поле должно быть слабым, но ограничений на скорость, например, нет. И вообще можно "поиграть" с различными ситуациями.
Давайте для примера разберем задачу Шварцшильда: есть плотность внутри некоторого шара, а вне его тензор энергии-импульса нулевой.
Тогда тензор энергии-импульса от времени не зависит и квадратные скобки можно опустить. Далее, все его компоненты равны нулю, кроме одной, с индексами 00: там стоит плотность. Если шар считать малым и поле рассматривать далеко от него, то r (расстояние от данной точки до точек шара) практически не будет меняться, его можно вынести из-под интеграла, и тогда интеграл от плотности это просто масса m шара.
Это сильный вывод, потому что не играет роли распределение плотности внутри звезды при условии, что поле слабое. Интеграл справа равен просто m/r, где r — расстояние от интересующей нас точки до звезды. Остальные компоненты равны нулю. Получаем систему уравнений:
a+b+c+d=-8m/r
a+b-c-d=0
a-b+c-d=0
a-b-c+d=0.
Из них легко последовательно получается a=b, c=d, a=b=c=d, и, наконец,
a=b=c=d=-2m/r. Элементы вне диагонали равны нулю.
Добавив "плоскую" метрику δ, получаем выражение для интервала
dτ² = (1-2m/r)dt² - (1+2m/r)(dx²+dy²+dz²).
Перейдем в сферические координаты; в них радиальная переменная (это и будет r) унаследует этот множитель (1+2m/r), а угловые переменные будут обычные. Получим
dτ²=(1-2m/r)dt²-(1+2m/r)dr²-dΩ².
Это уже очень похоже на метрику Шварцшильда. До полного совпадения опять используем малость добавки и соотношение (1-s)(1+s)=1-s²≈1, спаведливое для любого малого s. Тогда при малом 2m/r имеем
1+2m/r≈1/(1-2m/r), и получается метрика Шварцшильда.
Если бы мы не знали про Шварцшильда, то все равно могли бы правильно оценить, например, замедление времени в слабом гравитационном поле. это коэффициент при dt в метрике, а 2m — это гравитационный радиус тела в системе единиц, в которой скорость света и гравитационная постоянная равны единице.
Да, точное решение Шварцшильда получается не намного сложнее и оно точное, пригодное и для сильных полей. Но мы проверили работоспособность метода и теперь можем применить его для более интересных вещей.
И кстати, у Шварцшильда критична вращательная симметрия, а у нас — нет; правда, взамен нужна слабость поля и малость небесного тела по сравнению с расстоянием до него. Внутри может быть что угодно, и это может означать, что если поле Солнца, скажем, можно считать слабым, то его (Солнца) форма и внутреннее устройство на гравитационное поле влияют незначительно. Конечно, это не строгое доказательство, но я бы особенно не полагался на объяснения за счет сплюснутости Солнца или потоков в его внутренности. Может быть, это и важно; а может, и нет. Считать надо, но у нас есть сильный аргумент в пользу того, что на расстоянии в несколько радиусов Солнца (а до Меркурия их около восьмидесяти) внутренний мир Солнца влияет меньше, нежели просто его масса. А для Венеры, Земли и Марса эффект также измерен и согласуется с теорией, и для этих планет я бы уже рискнул настаивать на возможности считать Солнце маленьким. Именно поэтому я всегда и говорю: для подтверждения теории относительности достаточно было объяснить прецессию перигелия Меркурия (что не отменяет прочих проверок, конечно), а вот для ее опровержения необходимо объяснить всё, что объясняет ТО, и притом в рамках одной теории. Наш пример показывает, что это уже не удастся сделать.
До скорой встречи.