Мы начали обсуждать тему массы в релятивистике в предыдущей заметке. Теперь поговорим о массе систем и о том, почему понятие массы в общей теории относительности не используется.
Точнее, используется, но лишь постольку, поскольку ОТО есть обобщение СТО, и встроенная в теорию специальная часть понятие массы содержит. Так, можно решать задачки о материальных точках в рамках СТО, вводя гравитационные силы, а можно в парадигме ОТО, рассматривая движение в пространствах с кривизной. Гравитацию самих точек игнорируем. И все получается.
Еще раз: кирпич на шкафу: в классике на него действует сила тяжести и сила реакции опоры и в итоге равнодействующая сил равна нулю и ускорение равно нулю. В итоге его пространственно-временная траектория вертикальна: время идет, кирпич покоится.
В ОТО на кирпич действует сила со стороны шкафа и он ускорен относительно свободно падающей инерциальной системы отсчета вверх. В итоге его пространственно-временная траектория не геодезическая, часы кирпича чуть замедлены по сравнению со свободно падающими. А результаты одинаковые, конечно.
Система тел (но не контейнер с телами, о нем дальше), может иметь массу покоя, которая определяется энергией всех входящих туда тел. Однако эта масса зависит от движения тел и потому плохо связана с массой классической механики.
Вспомним определение массы: это величина вектора энергии-импульса (в системе единиц, в которой с=1). То есть,
m²=E²-p².
Рассмотрим пару одинаковых шариков, летящих параллельно с одной и той же скоростью v. Импульс системы двух шариков равен удвоенному импульса шарика, энергия аналогично. Получаем массу системы:
Масса системы равна суммарной массе, а скорость и не при чем.
Теперь пусть шарики летят встречными курсами. Импульс тогда равен нулю, а масса системы двух тел
то есть m₂=2mγ(v). Теперь масса от скорости зависит, да еще и растет неограниченно с ростом скорости. И вот это довольно сильно похоже на релятивистскую массу. Но только в данной конфигурации. Если скорости шариков направлены под углом, будет вообще все иначе.
Например, пусть шарики летят под прямым углом. Тогда энергия системы равна удвоенной, а вот импульсы, равные по величине, перпендикулярны. И получаем из формулы m²=4E²-2p². (Потому что (p₁+p₂)²=p²+p²+2p₁p₂, но p₁p₂=0).
Если масса шариков равна нулю (это фотоны, скажем), то импульс по величине равен энергии, но выводы те же: масса системы фотонов, летящих одним курсом, равна нулю, а встречными курсами — не нулю, а суммарной энергии двух фотонов. А если курсы перпендикулярны, то масса меньше удвоенной энергии в корень из двойки раз.
То есть два луча света в одну сторону друг друга не притягивают, а встречные — притягивают.
Если мы возьмем сосуд с газом, скажем, то его масса составлена из массы стенок, массы молекул, но не только. Импульс в сумме близок к нулю, так что вклад в массу дает энергия движения (впрочем, релятивистская энергия учитывает и массу покоя), а также энергия связи атомов в молекуле, энергия связи электронов с ядром, энергия связи нуклонов в ядре, энергия связи кварков в адронах... Если кварки и правда струны, то их масса есть просто энергия колебаний струны. Теперь всё.
Интересно, что вклад энергии связи в массу протона огромен. Масса протона около 938 МэВ, тогда как входящие в его состав кварки имеют массу около 9МэВ. Остальное — глюонное поле сильной связи...
Давайте еще раз проследим, что создает массу, скажем, воды в стакане. Следите за уходящей в штопор мыслью:
- Масса воды есть масса покоя молекул воды плюс кинетическая энергия молекул плюс энергия связи.
- Но масса покоя молекулы есть масса атомов плюс энергия ковалентной связи.
- Масса атома есть масса ядра плюс масса электронов плюс энергия связи.
- Масса ядра есть массы нуклонов плюс энергия связи.
- Масса нуклона есть массы кварков плюс энергия связи...
- Что такое масса электрона или кварка? Давайте примем теорию струн и скажем, что это энергия колебаний струны: они все одинаковые, только колеблются по-разному.
(Замечание. Масса нуклонов в ядре не такая, как масса свободных нклонов. Масса свободных больше. В ядре часть массы превращается в энергию связи. Либо наоборот, энергия связи превращается в массу и кинетическую энергию нуклонов при распаде ядра.)
Выходим из штопора: масса воды есть массы электронов и кварков (мелочи, на самом деле) плюс энергия связи. И всё, и массы в стакане нет: есть только энергия — колебаний и взаимодействий, причем взаимодействия суть тоже частицы-бозоны, а это тоже струны.
Можно привести такую аналогию: ценность коллектива не равна сумме ценностей работников: есть еще важные связи, сработанность, понимание друг друга и все такое. И в ряде случаев сыгранная команда средненьких игроков может быть сильнее команды высококлассных индивидуалов.
Кстати, энергию движения молекул можно учесть через температуру T, она для этого и введена. Энергия системы молекул равна nRT, где n — количество вещества в молях, а R — газовая постоянная (8.31Дж/моль/°К). Поделив на c², мы получим вклад кинетики в массу газа, и он обычно мал. Чтобы шарик радиуса a с n молями газа стал черной дырой, температура газа должна быть ac⁴/(2GRn) (правда, мы массу газа не учли, но то мелочи). Это много.
Но да, набитый светом зеркальный шарик тяжелее пустого. Теоретически может быть намного тяжелее и даже стать черной дырой.
И да, заведенные часы тяжелее остановившихся, а разряженная батарейка легче заряженной. А масса воды, полученной сжиганием 16 грамм кислорода в двух граммах водорода будет немного меньше 18 грамм: на тепловую энергию (120КДж/г), выраженную в единицах массы.
Теперь о том, почему в ОТО масса не используется или используется очень ограничено. В статье Л.Б. Окуня приводится такой пример. Гравитационная сила, действующая со стороны массивного тела массы M на легкую частицу с энергией Е и векторной скоростью v на расстоянии r, имеет вид (c=1):
Если скорость v=|v| мала, то в скобках практически радиус-вектор r и получается ньютонова формула, и Е можно назвать массой. Но если скорость велика, то играет роль угол направлениями скорости и радиус-вектора, то есть масса частицы уже совсем и не Е.
В частности, если векторы r и v ортогональны, то скалярное произведение rv=0 и получается ньютонова формула с множителем (1+v²). А если скорость направлена параллельно, к телу или от него, то мы придем опять к ньютоновой формуле: если v=qr, то rv=qv² и в большой скобке останется только r.
Гравитацию создают не массы, а поле тензора энергии-импульса. Задачи Общей теории относительности можно разделить на два класса. Вакуумные уравнения: тензор энергии-импульса равен нулю, некоторая область пространства пуста, но в нем есть кривизна, создаваемая шариками с массой внутри (которые из области исключены). Например, таково решение Шварцшильда, и других таких не так много. Любую задачу можно приблизить каким-то распределение масс и вакуумным решением в пустом пространстве между ними. В данном случае масса — это просто числовая характеристика исключенных областей, граничное условие. Мы решаем вакуумное уравнение, получая поле (никакие массы не принимались во внимание), зависящее от некоторых параметров. Они определяются исходя из того, например, что поле на бесконечности должно вести себя как ньютоновское. На этом этапе параметры выражаются через массы тел.
Второй класс задач — это распределение энергии всех видов, то есть тензор энергии-импульса во всем пространстве. Так получается приближение Ньютона, таковы и космологические решения. Масс нет, есть распределение энергии (часто это в основном плотность), импульса, давления, потока импульса, и, может быть, чего-то еще: зарядов, токов, чего угодно.
В частности, если мы хотим рассмотреть гравитацию пары летающих туда-сюда релятивистских шариков, то нам нужно все честно и записывать: вот такая вот среда из двух частиц, плотность, импульс, все остальное (включая давление, так как иначе шарики не смогут летать туда-сюда)... После всех уточнений, задача решается.
Насколько я понимаю, именно так собирались делать черную микродыру на БАКе: столкнуть два протона с большими энергиями.
В общем, масса в общем случае не является мерой инертности и не определяет гравитацию и поведение в "чужом" поле гравитации. Поэтому в ОТО она не имеем смысла, разве что в отдельных задачах.
А теперь парадокс. Если масса системы двух шариков зависит от их относительного движения, то как быть с контейнером? Если шарики внутри коробки, то какова масса этой коробки? Неужели она меняется в зависимости от отскакивания шариков? Этот парадокс разберем в следующей заметке!
Л.Б. Окунь Масса. Энергия. Относительность «Успехи физических наук» т. 158, вып. 3, 1989, стр. 511–530
Хорошие каналы, на которые стоит подписаться
Подборка научно-популярных каналов коллег
