Начнем с системы отсчета вообще. Математически — это система координат, причем локальная: возможность "сшить" локальные системы в глобальную координатную сетку гарантируется, прямо скажем, редко. Хотя в "плоском", евклидовом пространстве — гарантируется.
Физически, система отсчета требует способа проводить измерение (расстояний и интервалов времени). И есть некоторая разница между этими понятиями.
Так, ничто не мешает ввести вращающиеся координаты: почему нет. Например, я на Земле могу считать себя неподвижным и наблюдаю движение звезд по небу. И скорости этих звезд, учитывая расстояние до них и угловую скорость в один оборот за сутки, немножко велики. Но во вращающейся системе отсчета измерению доступно только то, что на расстоянии вытянутой руки, а остальное есть результат вычислений. Грубо говоря, скорость звезды существенно зависит от расстояния до нее, а оно не измерено в данной системе, а дано извне, как параметр.
Этот пример показывает, что некоторые системы удобнее других, так как лишены наведенных эффектов. И это и правда так.
Первый закон Ньютона и является постулатом о существовании инерциальных систем. Даже неважно пока, что это такое. Первый закон только для этого и нужен, так как в остальном он — банальное следствие второго закона: при нулевой силе ускорение равно нулю и движение равномерное прямолинейное.
Если есть одна такая система, то есть и другие, так как по определению ИСО есть система отсчета, движущаяся равномерно прямолинейно относительно любой другой ИСО.
Получается, что имеется целая группа ИСО, и групповая операция есть переход из одной в другую.
В классической механике на этом и останавливаются. Есть класс ИСО, в которых выполнены законы Ньютона, причем эти ИСО глобальны (продолжимость в данном случае имеется).
Важно, что постулируется их существование, а далее уже чисто теория групп: система отсчета, равномерно прямолинейно движущаяся относительно другой ИСО, сама есть ИСО.
В Специальной теории относительности ИСО соответствует ортонормированной системе координат. Это значит, что скалярные произведения ортов (координатных векторов), равны нулю (если они разные), а скалярные квадраты равны по модулю единице. В таких координатах интервал имеет стандартный вид
c²dτ² = c²dt² - dx² - dy² - dz²
Они переводятся одна в другую преобразованиями Лоренца, которые суть просто четырехмерные гиперболические повороты и обычные пространственные повороты. То есть, это системы, равномерно прямолинейно движущиеся одна относительно другой, а также неподвижные (относительно данной), но с повернутыми осями.
В Общей теории относительности все так же, только теперь система вынужденно локальна: в бесконечно-малой окрестности каждой точки.
Ровно по той же причине, по которой направления скоростей на планете локальны: "туда" можно двигаться только очень недолго, иначе улетишь с планеты (если сможешь сохранить направление своего движения). Летящий прямо самолет описывает дугу окружности, ну вот так вот оно устроено.
Инерциальная система отсчета это тоже ортонормированная система координат, но локальная. При этом она падает в поле тяготения, так как иначе в метрике возникнут лишние члены. Так что физически ИСО суть свободно падающие в поле тяготения системы отсчета, равномерно прямолинейно движущиеся одна относительно другой.
Не надо нервничать, что они упадут и разобьются. Время тоже локально, то есть мы можем поднять систему линеек с часами, уронить, подхватить у пола — измерение проведено.
В самой по себе локальности ничего страшного нет. Направления на север и на восток в каждой точке Земли свои, и все в порядке же.
Но в Общей теории относительности термин ИСО используется не так часто. В книге Синга, скажем, это понятие появляется один раз в таком контексте: чтобы сравнивать ОТО с теорией Ньютона, нужно освободиться от требования работать в ИСО. В ОТО есть понятие локально галилеевой системы отсчета, что по сути то же: метрика имеет плоский вид, интервал выражается формулой выше и в достаточно малой окрестности данной точки можно считать пространство плоским. Ну и такая система свободно падает, конечно.
Но тот же Синг прямо пишет, что локальная линейность гладкого пространства не так чтобы достойна называться Принципом. Конечно, по определению гладкое пространтво локально линейно. Это мнение мы в другой раз обсудим.
По сути, принцип эквивалентности и является аналогом первого закона Ньютона: искривленное пространство-время гладкое, в окрестности любой точки можно ввести касательное плоское пространство и в нем ортонормированные координаты. То есть все будет как будто нет никаких ускорений и гравитаций. Такую систему называют локально-галилеевой, но по сути это синоним инерциальной.
Вопрос о реальном физическом существовании совершенно не стоит. Достаточно иметь ту самую группу преобразований. Ясно, что всегда можно сделать ускорения сколь угодно малыми. Если мы работаем в области классической механики или СТО, то инерциальная система — свободная от ускорений. Если в ОТО — то локальная (то есть, достаточно маленькая) и свободно падающая.
Однако это исключительно вопрос математического удобства вычислений. Часто берут систему, связанную с Землей, и мирятся с силами инерции вроде Кориолиса. Это нормально. В принипе, можно вообще отказаться от понятия инерциальной системы отсчета — еще раз, в книгах по ОТО их и не используют.
Если вам кажется, что ИСО — это какой-то краеугольный камень, то вам кажется. Не более, чем кушать бифштекс с ножом и вилкой с тарелки и за столом. Удобнее, привычка, приличия — но технически можно и руками, стоя на голове на сноуборде. Вопрос техники.