Ускорения абсолютны: пилот в своем кораблике, не выглядывая наружу, знает свое ускорение. Его измеряет акселерометр. Правда, его не отличить от гравитации, но это другая тема. Если пилот знает, что летит, то ускорение ему известно. В отличие от скорости, которая "просто" не имеет смысла: только относительно чего-нибудь.
Ну а раз так, то пусть у Сильвера ускорение постоянное и равно 1g, или 10 м/с². Двигатели новой конструкции могли поддерживать такую тягу больше года. Сильвер знает, что летит по космосу. Его акселерометры показывают стабильно 1g. Да он и сам чувствует нормальную силу тяжести. Однако относительно порта, из которого Сильвер вылетел, его скорость растет, и за год (более 30 миллионов секунд) превысит 300 миллионов метров в секунду. Но это же скорость света!
Ну, давайте поможем Сильверу. Измеряемое им ускорение можно трактовать как увеличение скорости на gdt за время dt, где dt достаточно мало. То есть к скорости v(t) (относительно порта) надо прибавить gdt. Но скорости складываются по релятивистской формуле, так что новая скорость v(t+dt)=v+dv=(v+gdt)/(1+vgdt). У нас c=1 для краткости.
Выразим dv=(v+gdt)/(1+vgdt)-v=(gdt-v²gdt)/(1+vgdt)=(1-v²)gdt/(1+vgdt).
Поделим на dt и устремим его к нулю, получив физическое ускорение относительно порта: A=dv/dt=(1-v²)g. Знаменатель обратился в единицу.
Итак, постоянное собственное ускорение Сильвера быстро падает относительно порта с ростом скорости. Как меняется сама скорость?
Решим уравнение dv/dt=(1-v²)g. Разделим переменные:
dv/(1-v²)=gdt.
Теперь надо вычислить интеграл от левой и правой частей. Слева можно разложить дробь: dv/(1-v)+dv/(1+v)=2gdt. Теперь интегрировать легко:
ln((1+v)/(1-v))=2gt.
Слева был интеграл от 0 до какого-то значения v<1. Справа от 0 до t.
Что мы видим? Время разгона до v=1, то есть до скорости света, бесконечно (под логарифмом бесконечность). Если v маленькое, то 1/(1-v) приблизительно равно 1+v; а логарифм ln(1+v)² приблизительно равен 2v. Что дает обычную формулу v=gt.
Нетрудно и выразить скорость, чтобы увидеть характер ее изменения: v=1-2/(1+exp(2gt)).
Как видим, характер зависимости именно такой, какой нужно: поначалу, до скоростей 60-70% от скорости света, рост времени разгона до этой скорости практически линейный, то есть ускорение и вправду практически постоянное. Но потом он резко больше, и вблизи единицы рост почти вертикальный: разгон до еще "чуть-чуть ближе к с" требует очень много времени.