В самом деле. Часы на экваторе движутся с некоторой скоростью относительно часов на полюсе, потому что Земля вращается. Радиус Земли, скажем, 6400км, угловая скорость ω=2π радиан за 24 часа (примерно 0.25 радиан в час), что дает 1600км/час. Это довольно-таки приличная скорость, больше 444м/с, и релятивистский эффект вполне может быть зафиксирован. Это же около 100 наносекунд в сутки!
v/c=444/300е6~1.48e-6; (v/c)²~2.2e-12; √(1-(v/c)²)~1-0.5(v/c)²~1-1.1e-12. То есть, часы отстают на 10 в -12 степени секунды за секунду. За 86400 секунд (сутки) это около 94 наносекунд.
Однако он не зафиксирован. Потому что нет эффекта. На разных высотах да, это обсуждается, но зависимость от широты если и есть, то в поле Солнца и, может быть, Луны; но кинематика, замедление времени из-за относительного движения разных точек на Земле с разной скоростью - такого нет.
Эффект был предсказан Эйнштейном в работе по Специальной теории относительности, и отрадно, что в его время точности часов не хватало для регистрации эффекта. Его бы его искали, но не зафиксировали, это было бы обидно.
Почему же нет эффекта? Краткий ответ: потому что потенциал на уровне моря везде одинаковый, а замедление времени зависит только от потенциала.
Дело в том, что на точку на Земле действует ряд сил: давление со стороны земного вещества, гравитация, а также центробежная сила, связанная с вращением Земли. В равновесии равнодействующая этих сил должна равняться нулю, но равновесная форма сложна: ведь силы направлены по-разному и по-разному зависят от формы, которую и определяют. Такая форма называется геоид, и простым выражением он не описывается. Чандрасекар посвятил целую монографию форме Земли.
Конечно, Земля не идеальная жидкость... но не сильно от нее отличается, и форма Земли близка к геоиду. Тем более, что мы говорим об уровне моря, а вода еще ближе к идеальной жидкости. Если бы Земля была идеальным шаром, то на экваторе центробежная сила немного ослабляла бы гравитационный потенциал, так что вода с полюса потекла бы на экватор, повышая там уровень. В итоге гравитация бы на экваторе изменилась, и потенциал стал бы везде одинаковым: это и есть равновесная форма.
Можно описать эту форму в терминах потенциалов. Эффективный потенциал будет разностью гравитационного потенциала Ф(r,θ), зависящего от расстояния до центра r и широты θ, и центробежного, равного 0.5ω²r²cos²θ. На геоиде он по определению постоянный.
Для Ф(r,θ) есть формула, которая верна с точностью до 10 в степени -14 (учитывая горы и впадины):
где M масса Земли, G гравитационная постоянная (MG=3.98600442×10¹⁴м³/с²), J=0.001082636 связано с выпуклостью у экватора и а=6378137м есть экваториальный радиус.
Нам еще нужна точная угловая скорость вращения Земли: ω=7.292116 радиан за 100 тысяч секунд.
Если мы возьмем полярный радиус Земли, равный 6356.76км, и подставим его в уравнение эффективного потенциала, вместе с широтой θ=π/2, мы получим эффективный потенциал на полюсе: -62.637 миллионов (м/с)². А подставив экваториальный радиус а=6378.137км и широту нуль, получим эффективный потенциал на экваторе: -62.637 миллионов (м/с)². ТАКОЙ ЖЕ.
Теперь вспоминаем принцип эквивалентности. Отличить из трюма корабля гравитацию от центробежной силы никак нельзя. Оба потенциала, хоть и разной природы, совершенно одинаково влияют на время. Замедление времени зависит от эффективного, результирующего потенциала. А раз он на геоиде постоянный, то и время замедлено везде одинаково.
Можно сказать упрощенно: точка на экваторе движутся относительно полюсов и потому их часы замедлены больше; но они дальше от центра Земли (выше), и потому замедлены меньше. В итоге то на то в точности и выходит.
Гравитационный потенциал ОТО немного отличается от Ньютоновского, который мы использовали, но очень незначительно.
Вот здесь написано лучше, чем у меня:
Drake S.P. The Equivalence Principle as a Stepping Stone from Special to General Relativity: A Socratic Dialog.