Давайте сразу уясним: обычная сфера двумерна! Потому что для указания точки на ней всегда хватает двух координат. А вот одной может не хватить (а может и хватить: полюс, например, это где широта 90, а долгота роли не играет). Уравнение сферы в пространстве связывает три координаты соотношением "сумма квадратов равна константе", и, выбрав две, можно определить третью (если получится, с точностью до знака — но это нюансы). Независимых переменных две.
Можно таким путем и пойти. Есть пространство — в нем точки и векторы. У каждой точке — координаты. Всё пока хорошо: есть влево-вправо, есть вперед-назад. Но чтобы уметь вычислять длины и углы, объемы и площади — нужна метрика: тензор (матрица такая). Ну, пусть будет — в каждой точке своя. Вопрос: а можно ли перейти в такие координаты, чтобы матрица эта была единичная? И тогда о ней можно и забыть.
Не всегда. Из компонент метрики и их производных можно составить тензор, именуемый тензором кривизны, так вот если он равен нулю (все компоненты), то тогда — можно. Пространство плоское.
На самом деле, тензор показывает, как повернутся оси координат просто потому, что само пространство обладает кривизной.
В двумерном случае у этого тензора одна всего независимая компонента, которая называется кривизной. У сферы она больше нуля, у перевала (вперед-назад минимум, влево-вправо максимум) меньше нуля, у плоскости и цилиндра нуль.
Если кривизна не нуль, метрику выбором координат не сделать постоянной, и приходится всегда работать в криволинейных координатах. А если нуль, то можно выбрать декартовы координаты, но можно и криволинейные, тут уж никто не принуждает.
Это как иметь кухню или жить без кухни. С кухней можно готовить самому, а можно в кафе ходить. Без кухни всё так же, только в кафе приходится ходить..
Что тут важно? Что кривизна есть исключительно внутреннее дело поверхности, и связано с ее метрическими свойствами. А метрика и придает поверхности индивидуальность, без нее всё одна плоскость.
Адмирал знает, что Земля шар, но ему это без разницы. Он оперирует координатами на сфере и ему хватает головной боли с преобразованием долгот и широт в километры и мили. В его распоряжении только вперед-назад и вправо-влево. Но кривизну он учитывает, потому что это может быть важно.
При ненулевой кривизне "прямые" линии, которые параллельны в какой-то точке, сходятся (или наоборот, расходятся). Поехали с экватора строго на север, да и встретились на полюсе...
Как заметил один уважаемый подписчик, параллельные линии сходятся мистическим образом. Именно так! Мы можем, не выходя в пространство (не работая с тенями от колышков и не вылетая в космос) заподозрить, что Земля искривлена. Просто из-за таинственной сходимости вроде бы параллельных "прямых" линий-меридианов.
Вот берем мы карту, круглую штурманскую линейку, и проводим кратчайший путь, который выглядит как дуга. Карта плоская, но метрика на ней не плоская, с положительной кривизной.
То же самое и с пространством-временем ОТО! Оно искривлено, метрику можно вычислить по распределению энергии, ну и "прямые"траектории оказываются сходящимися. Как будто что-то притягивает одну к другой.
Вопрос. А разве сфера не лежит в трехмерном пространстве? Лежит. Именно в трехмерном. И можно ее описать как подмножество этого пространства. И выяснить кривизну, посмотрев, например, на тени одинаковых колышков в один момент времени в разных городах.
А вот для цилиндра дело обстоит тоньше. Он плоский в смысле кривизны, но лежит в трехмерном пространстве. На нем есть "прямые линии", геодезические это правильно называется, которые искривлены: ну, окружность, охватывающая цилиндр, например. Но эту кривизну можно выловить, в общем случае, только из объемлющего пространства: посмотрев на тени от колышков, посмотрев на цилиндр со стороны и т.п.
А не так ли обстоит дело с пространством-временем ОТО?
И вот это очень хороший вопрос, ответ на который вы дадите себе сами. Я поясню только.
Математически проблемы нет никакой: в каком плоском пространстве лежит произвольное четырехмерное псевдоевклидово пространство, метрика которого удовлетворяет уравнению Эйнштейна? Эту задачу можно решить, указав минимальную размерность. Я не знаю, сделано ли это, да и неинтересно. Скорее всего, такое пространство есть. Может быть, даже пятимерное, но это не точно. Дальше-то что?
С точки зрения физика такого пространства нет, так как там нет физики. Не летают фотоны и электромагнитные волны, нет других частиц Стандартной модели, нет и гравитации (она вся — то самое пространство-время). Следовательно, его не видно, туда не сунешь прибор, и вообще оно ненаблюдаемо и никак не влияет ни на что. Можно проверить кривизну пространства-времени и декларировать, что объемлющее пространство должно быть. Ну и ладно.
Есть такая гипотеза Мультивселенной: будто в некотором как раз объемлющем пространстве возникают Вселенные с разной физикой и т.п., и вот это, пожалуй, точка наибольшего сближения физики с абстрактной геометрией. В М-теории тоже, миры-на-бране и всё в таком роде. Пока это гипотезы-фантазии, но почему бы не фантазировать в свободное время.
Резюмируя. Вложено куда-то искривленное пространство-время? Да, если вас интересует геометрия искривленных пространств. Нет, если вам важна физика: она вся описывается через координаты искривленного четырехмерного пространства-времени. Мы как тот адмирал. Только он может хоть треуголку подбросить вверх или ко дну пойти вниз, а мы не можем ничего такого в объемлющем пространстве. Но и не хотим же. Зачем нам ко дну?
Возможно ли ввести это объемлющее пространство, которое плоское, и работать в нем? Ну, да, только его размерность не обязательно равна пяти: может быть и больше. Точно хватит девяти, это теорема.
Но это как если бы адмирал взял координаты с центром в центре Земли (или Солнца) и водил флот по ним. Так-то можно, почему нет. Только придется постоянно накладывать ограничения, чтобы оставаться на поверхности моря. Это будет, скорее всего, сложнее и менее удобно.
Ну, как вместо "плывите, держась экватора, 20 тысяч километров на восток" он скажет "сместитесь на 12 тыс 800 км вниз по местной вертикали z, но так, чтобы сумма квадратов всех трех координат (в км) в точности равнялась 41 млн квадратных километров". И это еще приливы и просто волны черт знает как легализовать! Всплыл на метр — уже приказ нарушил.
Если дополнительное измерние одно, то есть четырехмерное пространство-время вложено в пятимерное плоское пространство, то можно записать все уравнения в пятимерном пространстве, для пяти переменных, и добавить к ним ограничения вида "точка должна всегда принадлежать четырехмерному пространству-времени, описанному вот так-то". Проще будет? Нет.
Уравнения физики проще не станут, наоборот. Компоненты метрики останутся в ограничениях, никуда от них не деться. А там и так не то чтобы совсем просто получается. Так что никто такой ерундой не занимается.
Об упрощении уравнений выбором координат я уже рассказывал.
Вот как-то так.